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数学揭秘,为什么是0的阶乘是1?通过数学方法(伽马函数)证明

2021-10-20  曲梦卿Men...

从阶乘的定义开始,我们可以在数学上证明:0!=1。在排列组合领域,通常给出的解释通常是,只有一种方法可以排列0个物体,或者数学家们发现了0!= 1而不是0!= 0更方便,更有用。

让我们先来看看什么是阶乘的定义。

一个非负整数n的阶乘,用n! 表示,是所有小于或等于n的正整数的积。

  • n!=(n)(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)

这就得到了一个递归关系。

  • n!=n (n-1)!

排列‍

排列是一个集合中元素的唯一和特定的顺序。例如,包含三个元素的集合{a, b, c}有六种排列方式:

  • {a, b, c}, {a, c, b}, {b, c, a}, {b, a, c}, {c, b, a} 和 {c, a, b}。

从上面我们可以看出,3!=6。事实上,一个有四个元素的集合有4!=24个排列方式,一个有五个元素{a,b,c,d,e}的集合有5!=120个排列方式。因此,思考阶乘的另一种方式是设n是一个自然数,n!就是一个有n个元素的集合 的 排列数量。

以类似的方式,一个有两个元素的集合{a,b},有2!=2个排列组合,即{a,b}和{b,a}。有一个元素{a}的集合,有1!=1种排列组合,因为它只能以一种方式排序。

一个不包含任何元素的集合被称为空集。对于一个零元素的集合,可以有多少种排序方式?

我们已经知道,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,……。现在让我们从后向前看,如何从5!=120中得到4!=24,以此类推。可以清楚地看到:

  • 5!/5=24

  • 4!/4=6

  • 3!/3=2!

  • 2!/2=1!

因此,0!=1!/1。从理论上讲,当n为有理数时,应该能够算出n阶乘的值。例如,什(3/2)!是多少?

伽马函数‍(gamma函数,γ函数)

定义。设z是一个复数。伽马函数Γ(z)在ℜ(z)>0(半个复平面)中的定义为

这个积分在ℜ(z)>0时收敛。伽马函数的一个基本属性由以下命题给出:

上述命题的证明非常简单,可以用分部积分法完成。

在1处对伽马函数进行求值,我们发现:

并使用上述命题,我们得到:

由此可见,对于所有正整数n:

伽马函数‍推广阶乘乘积的能力在数学的许多领域都有应用,例如,在组合学、概率论和幂级数的计算。

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