从一道高考题再谈椭圆切线

今天看一道比较经典的椭圆切线高考题，2013 山东 (理) 22:

第(1)问从几何的角度出发更简单，利用角平分线定理和一些基本的变型就可以得到M点横坐标的变化范围：

第(2)问是个椭圆切线问题，我们先看一下常规联立做法：

当然这个联立做法和网上一些常见的标答有所区别，计算量要小的多，因为利用了一个基本的一元二次方程性质：

接下来从几个其他的角度来看待这个题目，利用基本不等式可以直接得到直线l的方程，但前提是需要背下来椭圆切线方程的二级结论：

注意观察会发现要证明的结论可利用对称性，对于x轴上方椭圆上的每一个点P，考虑其关于x轴的对称点P'，则P'对应的k1，k2，k与点P对应的k1，k2，k相反，因此只需要考虑P在x轴上方的情形，又由于直线l的斜率是存在的，因此(2)问还可以直接通过导数来做：

再介绍一种比较妖冶的做法，借助(1)问结论与椭圆的光学性质：

最后还有另外一种理解方式，但这种做法在高考中风险太高，涉及到了极限，因此只写一下思路，供有余力的童鞋拓展：

考虑弦AB，且弦AB中点在直线OP上，那么比较容易证明椭圆的垂径定理，即弦AB的斜率与直线OP的斜率乘积为定值，且为-1/4。现在进一步考虑A与B两点同时向点P靠近，并维持直线AB斜率不变，当A与B两点无限接近点P时，此时直线AB的斜率与点P处的切线斜率相同，因此l的斜率k，与直线OP斜率乘积也为-1/4，即：

接下来的证明过程略。

上面的思考方式利用了“切线是割线的极限”的思想。

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利用这个题目，基本把高中范围内的椭圆切线处理方式都介绍了，对于椭圆的光学性质部分，高考中是可以正常使用的，因为教材中特别介绍过：

熟读教材对于高中生非常关键，希望大家引起重视。