【原】李善兰之尖锥说与圆面积公式之推导

李善兰之尖锥说与圆面积公式之推导

上传书斋：潇湘馆112

何世强

Ho Sai Keung

提要：清‧李善兰著《则古昔斋算十三种》，首卷为〈方圜阐幽〉，其中提及尖锥形，本文主要谈尖锥形之合并及圆面积公式之导出。

关键词：李善兰  十三种  尖锥 圆面积

第 1 节  李善兰略传

笔者已有文名为〈李善兰之尖锥说与积分〉，本文乃其补充。

李善兰（1810年－1882年）原名李心兰，字竟芳，字壬叔，号秋纫，生于清嘉庆十五年（1810年）一月二日，浙江海宁县硖石镇人。据《则古昔斋算十三种》﹝简称《十三种》﹞自序，十岁时即通《九章算术》。道光二十五年（1845年）着《四元解》二卷。从此致力钻研天文、历法与算学，成为清代之著名数学家。

传世之《十三种》计有以下之十三种：

〈方圜阐幽〉一卷、〈弧矢启秘〉一卷、〈对数探源〉二卷、〈垛积比类〉四卷、〈四元解〉二卷、〈麟德术解〉三卷、〈椭圜正术解〉二卷、〈椭圜新术〉一卷、〈椭圜拾遗〉三卷、〈火器真诀〉一卷、〈尖锥变法解〉一卷、〈级数回求〉一卷、〈天算或问〉一卷，共二十四卷。

《十三种》首卷为〈方圜阐幽〉，其“第五”提及“平立尖锥之形”，本文取材自此卷。

第 2 节  李善兰尖锥之形合并说

首先注意李善兰尖锥论包括平面之三角形，是为“二维直线尖锥”。两同高之三角形可合并成另一三角形，如以下之甲 ABD 和乙 EFG 三角形﹝设两者皆为直角三角形﹞：

最右方之图乃甲图和乙图之和或合并。甲图和乙图之关键为同高，即 AB = EF，右图以甲图为主，延长BD 至 C，使 CD 等于乙三角形之底 GF，连CA，则三角形ABC 是为甲和乙三角形之合并。

《十三种》举出以下之数字 DB = 3，AB = 3 ，GF = 1， EF = 3；

ABD = × 3 × 3 = 4，EFG = × 1 × 3 = 1，所以 ABD + EFG = 6。

ABC = × (3 + 1) × 3 = × 4 × 3 = 6。

即可知 ABD + EFG = ABC。又从上右图可知 ADC = EFG，此涉及三角形面积之初等定理：两三角形之底与高皆相等，则其面积相等﹝下图为原文﹞。

以上之单位为尺，面积为平方尺。《十三种》强调三角形之变形，即三角形 EFG = 三角形 ADC，两三角形面积相等，但形状不同。

笔者补充以上之变形合并并非唯一，盖乙图可置之于甲图之右方，则乙图可不必变形，但与原图对称﹝如下图所示﹞。

另一方面，亦可以以乙图为主，将甲图变形，或以乙图为主，将甲图置之于乙图之右方，一样与原甲图对称，即上右图之背面，或依垂直纸面轴转 180^o。

三角形之合并其实不独直角三角形，可包括任意三角形，其合并法与上文之直角三角形相同。

以上之合并容易理解，但如果非三角形而为尖锥形，情况亦相同，但不容易理解。《十三种》之所谓“尖锥形”乃指一三边形，其底为直线，其余之一边或两边为下凹之曲线。

《十三种》提出以下之平面曲线尖锥形之合并。

甲与丁是为两平面尖锥形，有一直角如下图所示。最右方之图是为甲图与丁图之合并，甲图不变，丁图 BFG变形而成ADC，即尖锥形面积 BFG = 尖锥形面积 ADC，注意 FG = DC，即有相同长之底。直线之合拢容易，曲线之合拢难。下图以甲图为主，假设丁图如变形虫可以任意变换，但面积不变，则必定可以依曲线 AD 将 BF屈曲及拉长成相同形状，另侧曲线 BG 自然弯曲成曲线 AC。新尖锥形是为 ABC。

若两平面尖锥形乙ABD和丙 EFG 如下图所示，其合并图 ABH 如右图所示：

今以乙图为主，今将丙图曲线 EF 依曲线AD合拢，即可得右图，新尖锥形是为 ABH。

以上之合并法并非唯一，如上文之三角形合并情况。所以上图之丙可在乙之右方合拢，或可以以丙为主，将乙合拢于丙之左方或右方。

第 3 节  李善兰尖锥说与圆面积

李善兰得一般求尖锥法如下：

《十三种》曰：

八当知诸尖锥之算法

以高乘底为实，本乘方数加一为法，除之得尖锥积。设如立尖堆高九尺，底方三尺，底面当得九尺，以高乘底得八十一尺，为实，乘数加一得三，为法，除之得尖锥积二十七尺。

注意以上之算法是算立体之尖锥，尖锥之底是正方形。

其意指一尖锥之高为 h ，其正方底面积为ah^m ，相乘为 ah^{m + 1} 为实，即被除数，本乘方数为 m ，加一后得 m + 1，为法，即为除数，相除得 ，此即为尖锥体积。注意 a 为常数。

以下为一般情况：

尖锥体积 = = = 。

若立尖锥高 h 为九尺，m = 2，底方三尺，即 √(ah²) = 3，ah² = 9，即
9²a = 9，a = 。将 h = 9，a =  代入上式得：

 = × 9³ ×= 81× = 27﹝立方尺﹞。

注意  亦表示曲线 y = x^m 与 X 轴之 0 与 h 之间所围成之面积，见下文之圆面积公式之推导。

又从李善兰之尖锥说可知，相信彼能已纯熟掌握西方数学之积分法。以下为推导圆面积之原文：

             

今在半径为单位之圆外画外切正方形，取第四象限如下图：

李善兰以尖锥法求圆面积。即先求尖锥ABH 之面积，再以正方形 1 平方单位减之，即得圆之  面积。

尖锥 ABH 之面积是一系列尖锥面积之和。

今先在 AB 取中点 C，从C 点作一曲线 至 H，H 点是为切点。CHB 是为再乘尖锥。注意 CH 之曲线唯一，其他曲线亦如是。

以下为各点C、D、E、F…之取法﹝即诸尖锥之底﹞：

BA = 1﹝圆半径﹞，

取 BC = BA = ，可知 CA = 1 – BC = 1 – = ，

取 CD = CA = × = ，DA = CA – CD = – = ，

取 DE = DA = () =，

EA = DA – DE = –= –=

= ，

取 EF = EA = () =，

………

再从 D、E、F… 画曲线切于 H 形成不同之尖锥如前图所示。

依照上文之第八条，各尖锥之面积算法如下：

若再乘尖锥 = P₂ = x²dx = = ×，

四乘尖锥 = P₄ = x⁴dx = = ×，

六乘尖锥 = P₆ = x⁶dx = = ×，

八乘尖锥 = P₈ = x⁸dx = = ×，

即可知十乘尖锥 = P₁₀ = ×，

……

尖锥 ABH 之面积 = P₂ + P₄+ P₆ + P₈ + P₁₀ + ……

= × + × + × + × +  × + ……。

外方面积 = 2² = 4，所以圆面积

= 2² – 4(× + × + × + × + ……)

= 4 – 4(× + × + × + × + ……)。

《十三种》曰：

依前第八法以求其积，既得诸积，四因之以减外大方积，便见大圆真积也。

以上即李善兰之圆面积以无穷级数表达法。