画出来的切线有误差；代数法求点的斜率；微分基本公式推导

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牛顿332、画出来的切线有误差；代数法求点的斜率；微分基本公式推导

微分（百度百科）：

…微、分、微分：见《牛顿321~330》…

…

多元型

…元：见《欧几里得45》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…型：见《伽利略9》…

（…《伽利略》：小说名…）

当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。

…量：见《欧几里得27》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

一元微分又叫常微分。

切线微分

…切、线、切线：见《牛顿288》…

1、当自变量为固定值

需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

然而，画出来的切线是有误差的。

…误、差、误差：见《牛顿64》…

也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。

…完、全、完全：见《欧几里得39》…

微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

以y=x^2 为例，我们需要求出该曲线在（3，9）上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m。

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…

当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。

当x=3+Δx时，y=9+Δy，也就是说：

（3+△x）^2=9+Δy

→3^2+△x^2+2×3×△x=9+Δy

→9+△x^2+6△x=9+Δy

→△x^2+6△x=Δy

（两边减去9）

→△x+6=Δy/△x

（两边除以△x）

∵ m=（△x→0）lim Δy/△x [m为曲线在（3，9）上的斜率，Δy/△x为直线斜率]

…lim：极限符号，limit的前三个字母…

[…极、限、极限：见《欧几里得218~300》…

…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。

v.限制；限定；限量；减量…]

∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=（△x→0）lim （6+△x）=6+（△x→0）lim △x=6

我们得出，y=x^2在点（3，9）处的斜率为6。

2、当自变量为任意值

在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率。

如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

…时、间、时间：见《伽利略10》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

这里我们仍以y=x^2 为例，计算图象上任意一点的斜率m。

假设该点为（x，y），做对照的另一点为（x+△x，y+Δy），我们按上面的方法再计算一遍：

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

（x+△x）^2=y+Δy

→x^2+△x^2+2×x·△x=y+Δy

∵ y=x^2

∴ x^2+△x^2+2×x·△x=x^2+Δy

→△x^2+2×x·△x=Δy

（两边减去x^2）

→△x+2x=Δy/△x

（两边除以△x）

∵ （△x→0）lim（△x+2x）=2x+（△x→0）lim △x=2x

∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=2x

我们得出，y=x^2在点（x，y）处的斜率为2x。

3、从二次函数到幂函数

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…幂：见《欧几里得113》…

通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率。

但这远远不够。

我们需要把这种方法扩充到所有幂函数：

（x+△x）^n=y+Δy

→x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=y+Δy （二项展开式）

∵ y=x^n

∴ x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=x^n+Δy

→nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=Δy

（两边减去x^2）

→nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）=Δy/△x

（两边除以△x）

加上极限：

（△x→0）lim[nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x

∴ nx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x

（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）

即：（△x→0）lim Δy/△x=nx^（n-1）

我们得出，y=x^n在点（x，y）处的斜率为nx^（n-1）。

4、从幂函数到单项式

…单项式（百度百科）：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也叫做单项式（0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1）。

分数和字母的积的形式也是单项式…

（…形、式、形式：见《欧几里得13》…）

…单项式（百度汉语）2：没有加、减运算的整式。

其中数字因数（包括数和表示常数的字母）称为单项式的系数。

各自变数称为单项式的元，各元指数之和称为单项式的次数，如3xy^3·z^2是三元六次单项式，其系数是3。

任一非0数都可看作单项式，称为0次单项式。

0则称为0单项式，次数不定…

（…运、算、运算：见《欧几里得121》…

…常、数、常数：见《欧几里得132》…

…系、数、系数：见《牛顿2》…）

我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率，依然假设有两点（x，y）和（x+△x，y+△y）:

a（x+△x）^（n+1）=y+Δy

→ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=y+Δy （二项展开式）

∵ y=ax^n

∴ ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=ax^n+Δy

→anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=Δy

（两边减去ax^n）

→anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）=Δy/△x

（两边除以△x）

加上极限：

（△x→0）lim[anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x

∴ anx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x

（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）

即：（△x→0）lim Δy/△x=anx^（n-1）

我们得出，y=ax^n在点（x，y）处的斜率为anx^（n-1）。

这就是微分的基本公式。

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。

…学、习、学习：见《牛顿160》…

…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…

…法、则、法则：见《欧几里得108》…

（△x→0）lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m

（本质相同；一种本质的两种说法。

…本、质、本质：见《欧几里得22》…）

5、多项式

当函数为几个ax^n 形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在单项式的导数上进行加减即可。

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

以函数y=ax^m+bx^n为例，将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。

可以得出du/dx=amx^（m-1），dv/dx=bnx^（n-1）。

y+△y=（u+△u）+（v+△v）

∵ y=u+v

∴ y+△y=（u+△u）+（v+△v）

→u+v+△y=（u+△u）+（v+△v）

→△y=△u+△v

两边除以△x：△y/△x=△u/△x+△v/△x

∵ （△x→0）lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m；△y/△x=△u/△x+△v/△x

∴ dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1）

→d（ax^m+bx^n）/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1）

同理可以得出d（ax^m-bx^n）/dx=amx^（m-1）-bnx^（n-1）

最后得出公式：

d（ax^m±bx^n）/dx=amx^（m-1）±bnx^（n-1）

有了这两个公式，我们可以对大部分常见的初等函数求导。

“d（a）/dx=0

请看下集《牛顿333、微分运算法则；常数的导数为什么是0？》”

若不知晓历史，便看不清未来