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(一) 记得有一堂数学课，老师讲勾股定理。 说实话，她讲了半天我也没弄明白她是怎么证明出来“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”。 我举手问她：“老师，你是怎么证明出来c2=a2+b2的？ 老师拿着小棒子敲打着黑板上“勾股定理”四个大字告诉我： “这叫定理，规定的道理！” …… 后来讲数学公理的时候，老师会本能的敲打着“公理”两个字，告诉我们： “这叫公理，公认的道理！” …… 后来书读的多了，原来公理和定理的出处是欧几里得的《几何原本》。 公理(Axiom)在逻辑上的地位等同于定义(Define)，是人为规定的，有些国外教材就用Define来表示公理。 定理(Theorem)，在英文中和真命题(Theorem)是同一个词，是指通过证明(Prove)得出的结论。 证明(Prove)一般是指演绎(Deduct)，反证法(Contradict)和数学归纳法(Induct) 国外的古代数学家是用公理和定理进行数学研究的。 而中国古代的数学家是用象数理进行数学研究的。 仍以勾股定理为例。欧几里是通过四个辅助定理来证明勾股定理的： 那么古代中国人数如何证明勾股定理的呢？ 《周髀算经》中证明勾股定理就八个字的描述：
半之一矩：就是讲一个矩形对折后再等分切开，形成四个大小相等面积相同的直角三角形。 环而共盘：是在讲将这四个大小相等形状相同的再次首尾相连拼接在一起形成一个新的正方形。 通过半之一矩，环而共盘。就能得到一个象。 象：一个以（a+b）为边长的大正方形由四个面积相等形状相同的直角三角形及一个以c为边长的小正方形构成。 数：(1)（a+b)2=4*0.5*a*b+c2 (2) a2+b2+2ab=2ab+c2 (3) a2+b2=c2 理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即：勾三股四玄五。 同理，环而共盘成小正方形通过象数理推导出的结果也是一样的。 以上的象数理的推导过程是使用了完全平方公式。 如果不使用完全平方公式怎么用象数理说明勾股定理成立呢？ 象1：通过半之一矩及环而共盘得到一个边长为（a+b）的正方形。该正方形内部包含一个以c为边长的空心正方形，即上图的初代正方形。 象2：将四个面积相同大小相等的直角三角形两两相对，形成上图的二代正方形。 数：面积相同的两个正方形减去面积相等的四个直角三角形，所得的差必然相等。 理：c2=a2+b2 结论1：我之所以一看再看也没研究明白所谓的公理、定理是怎么推演论证出来的，不是我笨，而是他们也弄不清楚，讲不明白它怎么就成了公理或定理的。 结论2：所谓能力，一定是分四个维度的 维度一：自己参照一定的标准有能力做。 维度二：自己在独立的环境下有能力做。 维度三：自己有能力指导别人做。 维度四：自己有能力建立标准，让别人通过你制定的标准获得相关的能力。 |
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