八年级|“勾股定理”考点精细解读

第14章  勾股定理

知识点1：勾股定理

直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．即如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²．

特别提醒

应用勾股定理应注意以下几点:

1．应用勾股定理计算的类型可概括为“知二求一”，在直角三角形中，a，b，c为三边长，若a²+b²=c²，则c=  ，a=  ，b=  ；

2．应用勾股定理进行计算时，要分清斜边和直角边，当题目没有明确指出哪个角是直角或哪条边是斜边时，一定要分情况讨论，避免因盲目套用公式而导致错误；

3．已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（设未知数，利用勾股定理列方程求解）；

4．利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题．

知识点2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形．

特别提醒

已知三角形三边的长，判定一个三角形是否是直角三角形的方法是：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c；

（2）验证c²与a²+b²是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；

补充：

若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；

若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形．

知识点3：借助等面积法证明勾股定理

勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的．应用拼图的方法验证勾股定理时

（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

（2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理．

特别提醒

1．探索勾股定理时找面积相等是关键；

2．由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理．

知识点4：勾股数

1.够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a²+b²＝c²中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数；

2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等；

3.用含字母的代数式表示组勾股数：

n²﹣1，2n，n²+1（n≥2，为正整数）；

2n+1 2n²+2n，2n²+2n+1，n²（为正整数）；

m²﹣n²，2mn ，m²+n²（，为正整数）．

知识点5：勾股定理及应用

1．勾股定理在三角形中的应用:

（1）添线应用

应用勾股定理的前提是在直角三角形中，当题目中没有直角三角形时，可以通过作高等方式，把非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题，再应用勾股定理求解；

（2）借助方程应用．

题目中虽然有直角三角形，但是已知线段的长不全是直角三角形的边长，可以设出直角三角形的边长，通过建立方程，解答这类计算问题．

2．勾股定理在四边形中的应用

（1）梯形的问题，常通过作高构造直角三角形，利用勾股定理求解；

（2）有内角为直角的四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直角三角形的问题，再应用勾股定理求解．

3．实际问题转化为数学问题后，不能直接求出线段的长，应根据题中与直角三角形有关的信息，考虑添加辅助线，构造直角三角形进行求解．

特别提醒

（1）在几何图形（非直角三角形的计算）中，创造条件构造直角三角形，把非直角三角形转化为直角三角形是解决问题，然后用勾股定理来解决．如关于等腰三角形、等边三角形的计算，作高是构造直角三角形的重要手段．

（2）勾股定理常常与平方差公式、两数和(差)的平方公式结合使用，如c=  ，a²=c²-b²=(c+b)(c-b)，c²=a²+b²=(a+b)²-2ab，c²=a²+b²=(a-b)²+2ab等(c为斜边长)．

4．求几何体表面两点之间的最短路径，通常将几何体的表面展开，把立体图形转化为平面图形，再根据“两点之间，线段最短”找到最短路径，然后利用勾股定理进行计算求解．

求最短路径“三步走”:

一展开:将立体图形展开成平面图形；

二构造:构造直角三角形进行计算；

三比较:通过比较得出最短路径；

知识点7：反证法

1．反证法的定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这种证法叫反证法；

2．反证法是同学们新接触的一种间接证明的方法，其主要步骤如下:

（1）假设结论的反面是正确的；

（2）通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；

（3）从而说明假设不成立，进而得出原结论正确． 

3．运用反证法证明时，常见结论的否定形式

结论词	是	都是	大(小)于	能	相等	至少有一个	至少有n个	最多有一个	负数
否定形式	不是	不都是	不大 (小)于	不能	不相等	一个也没有	最多有 (n-1)个	至少有两个	非负数

知识点8：直角三角形的性质

直角三角形除勾股定理外，还有以下重要性质

1．直角三角形两锐角互余；

2．（补充）斜边上的中线等于斜边的一半；

3．（补充）30°角所对的直角边等于斜边的一半

特别提醒

解决直角三角形的相关计算时，常从以下几方面考虑:

(1)当直角三角形中出现30°角时，应联想到30°角所对直角边是斜边的一半；

(2)当出现斜边上的中线时，要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；

(3)作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数值求线段长度或角；

(4)在一个题目中，若直角三角形较多，可考虑利用等面积的方法求线段的长度.

知识点9：直角三角形的判定

1.有一个角是直角的三角形；

2.有两个角互余的三角形；

3.勾股定理逆定理：若a²＋b²＝c²，则以a，b，c为边的三角形是直角三角形（注意利用勾股数）