【原】2021年11月各区县期中考试压轴解析(一)：角平分线的性质定理

       本次浦东和宝山的期中测试的25题都围绕着角的平分线展开，因此将两道压轴题归为一类，总结角平分线背景下辅助线的添加方式。

解法分析：本题是矩形背景下的点的运动问题，其中渗透了A/X型基本图形，相似三角形的性质以及角平分线的性质定理。

本题的第1问是等腰三角形的存在性问题，进行分类讨论，依据角的关系导出边之间的数量关系。其中需要注意的是矩形的对角线互相平分且相等，这为等角提供了条件。

本题的第2问是找到五边形面积S和时间t之间的数量关系。需要将五边形拆成两部分计算，分别是△OEC和四边形OFQC，对于△OEC，可以直接求其面积，过点O作BC垂线，即可求得其高；而四边形OFQC可以利用相似三角形的性质，通过面积比等于相似比的平方求得。其中蕴含了A/X型基本图形。

本题的第3问通过利用角平分线的性质定理或者解特殊的三角形求得t的值。

解法1：利用角平分线的性质定理以及面积间的等量代换计算

模型2：角平分线的性质定理

解法2：通过特殊的三角比(53°/37°三角形)，解三角形计算

模型2：含3、4、5三角形的锐角三角比及边之比：

解法分析：本题的背景是角平分线的性质定理。

本题的第1问是比例线段的证明，方法较多，有以下的证明方法：

方法1：添加平行线构造相似三角形

从结论中可以发现，AB、AC和BD、CD隶属于△ABD与△ACD，但是这两个三角形并不相似，因此为了得到结论中的比例线段，可以通过添加平行线构造相似三角形.

同样是添加平行线，但是解法2和3就比解法1要简单得多，因此在添加平行线时，一定要充分利用求证的结论，添加的平行线所涵盖的基本图形(A型或X型)尽量包含所要求证的比例关系，使得解法得以优化。

方法2：作等角构造相似三角形

解法4和解法5通过做等角构造了相似三角形，此时又出现了一个等腰三角形，因此转移了线段，得到了结论；解法6通过作垂线，构造了相似三角形，再利用X型基本图形，构造了中间比，得到了结论.

方法3：利用外接圆构造相似三角形

解法7利用了外接圆中同弧所对的圆周角相等的性质，得到了两组相似三角形，通过引入中间比，将结论证明得到.

方法4：利用同高的三角形面积比等于底之比证明

解法8结合了两个同高的三角形的面积比等于底之比的性质，以及结合了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，利用面积法证明了结论。

本题第2问利用线段间的比例关系，利用二次相似计算，得出CE的长度，需要充分利用第一问的比例关系。当然，本题也可以通过添加辅助线求出CE的长度。

本题第3问涉及线段间比例关系的转化，由于E、M都是关键点，因此可以考虑过EM作平行线，此时又可以利用BD与CD的数量关系。本题可以考虑设元求解，通过代换的方式可以消去设的未知数。