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AMushuo 熟悉我的亲知道，我是数学系出身，自从开始讨论数学和教育，就有很多亲问我。“阿木，如何激发孩子学习数学的兴趣？”“像xx思和xx线的奥数班到底有没有用？我都不见你们教点儿奥数……”我的回答很简单：讲真，我不知道什么是奥数。什么是奥数，世界奥林匹克数学竞赛的组委会曾给过一个定义，网上也有很多种答案。 图片来源：奥数官网截图 我自己在教数学这段时间，我翻阅过六七种所谓“奥数”教材，这其中包括有在华东师范大学出版社出版的xx齐教研团队主编的《从课本到奥数》、有孔凡哲教授参与编审的东北一家教辅机构数学教材、xx思的数学教材和x思的数学教材以及xx优、x一数学的教材以及华杯赛、迎春杯、希望杯的培训教材。它们无疑有一个共同特点：题目综合性确实很强，你要说超出学习范围吧，有些部分是有点儿。就看你怎么去讲解和阐释教材内容了。 我在研读课程标准的时候，有一个关于“鸡兔同笼”的不同解法，课标中分别举例了三年级、五六年级和八年级是如何与孩子去交流这一问题的。我看过后，很受启发，以至于后来备课也习惯性地去想：“这部分内容能不能像讲故事一样说给孩子们听”，因为史宁中教授曾经多次讲过中小学数学莫非就三件事：抽象、推理和模型，摸清楚数量关系、图形关系和逻辑关系，四基四能的教学任务就解决了，我一直信以为真。 或许我们作为家长，自己对数学毫无兴趣，却格外关注孩子（包括别人家）的数学学习。可能是出于应试考虑，希望“睿源”等课外机构学奥数，在升学考试中取得好成绩，进而获得一个好学位；有的可能看得更远，希望培养孩子的数学思维，人工智能已经步步逼近，可能未来就是一个算法的世界，是数学家统治的世界，感觉不学好数学，未来的精英之门都要向孩子关闭了。（我看啊，其实也没这么夸张） 看来，谈教育就很难绕过辅导，绕过数学这个“难题”、“话题”。 到底什么是数学思维？数学思维在我们的人生中到底有多重要？如何培养数学思维？今天借中午闲暇之余，我们来谈谈这个问题。
我听了之后，也是笑坏了。 这个HR说，先看专业，专业不行的再看学历，这哪里是提高招聘标准的意思？这明明是降低标准嘛。
我相信你看了这一段，还是云里雾里的，其实这个故事就是一个典型的缺乏数学思维的HR闹出来的笑话。数学上的逻辑关系“且”“或”没弄清楚。 交集和并集，这是高中学的数学知识点，你我都学过，只不过早已经还给数学老师了。 数学对于未来教育而言，非常重要。 现在的孩子，能够接触到的所有跟数学相关的教育渠道有哪些呢？ 从家长们的讨论看，自己数学不好，想提高孩子的数学思维，好像必须推给“奥数”了。 其实，在互联网时代，什么资源都不缺。这些年，关于数学思维的讨论多了，数学学习资源也多了。
这么多资源，如果要培养数学思维，真正可以用得上是哪些资源呢？奥数班到底好不好？ 我从小学一直到大学专业读数学。我都没有学过奥数班，学数学仅仅是喜好，或者大家说的兴趣。虽然不才，没有成为数学家，好歹也有些经验。 坦白讲，我认为解答综合性题目（包括难题）是进入数学思维的开始。如果永远谈基础要扎实，不断把过去学过的简单知识反复应用，这是无助于数学思维的，这叫理科学习文科化、数学学习政治化。天天把加减法背到烂熟，也和数学思维没有一毛钱关系。老太太在菜市场可以轻松玩转加减乘除法，她们可不一定有数学思维。 美国奥数队的教练卡耐基梅隆大学的数学教授罗博曾来中国做过一个讲座，他也谈到这个问题：中国孩子做题很快，而数学真正的乐趣在于做难题，挑战自己，而不是重复计算机可以做的事情（他说这话，可能和他们没有背过九九表有关）。 我上初高中时还没有什么课外辅导班，都是学校安排一些尖子生在实验班；现在当然不同了，奥数也不再是少数人的事情，全民学奥数，成了商业机构的盈利点。 我们身边林林总总的奥数班，能够推动孩子们，从具体到抽象，去解决较难的、进阶的问题，这是好的一面。 可是我们见到的奥数班普遍存在着一种倾向——同一类问题的熟练程度掌握（刷题）。虽然提高难度很有意义，可是难度提高之后，就在这个难度上反复训练直至熟练掌握某种套路，这就犯了与课内教育相同的错误，又偏离了向数学思维行进的方向，我个人不习惯刷题，我的教学也不设计刷题，我喜欢学完一个专题的内容后，不安排作业，孩子离开课堂自觉主动完成习题，但在我们下一堂课开讲之前，我会一个一个地检查，完成的有神秘的奖励惊喜。我们的考试也没有提前通知与复习，突如其来地就考试了。世间上哪有那么多安排好的，有计划的复习考试啊，这都是上世纪计划经济的一贯做法，我们要接受变化的环境，变化地学习新东西。 去年，我带过一批同学学习数棋，说实话这门课学起来很轻松，没有复杂的专题，也没有深奥的数学理论，就在于利用数的运算法则加减乘除去完成走棋，加上我们的学习形式丰富多变，同学们都觉得很好玩儿，在技能要求逐层向上累进，对数学思维的培养有一定的促进作用，最起码在数学的运算上有显著的成效。
有了这种抽象的思维能力之后，再去看待现实生活中发生的头绪纷杂的事情，能够根据已有的形式的符号代入，来解决实际的问题，这才是真正的数学思维的一种循环。 虽然大家都意识到数学思维的重要性，可很少有家这样问过我：如何进行数学学习。 或许我们本身多多少少从小就对数学有一丝丝恐惧，现在忽然意识到数学思维是影响孩子未来成长的重要因素，既茫然又焦虑，更容易无方向地乱撞乱试。 到底该如何制定一个有目标的整体的数学学习规划？ 数学能力的培养，离不开儿童认知的发展。我们还是有必要先看一看皮亚杰的儿童认知发展四阶段理论。到目前为止，这还是被广泛认同的（当然你应该有自己的判断，一切理论和经验脱离当时的情境都好像没用了）。 第一阶段：感知运动阶段（0-2岁）； 第二阶段：前运算阶段（2-7岁），儿童认知出现象征或符号功能。这一阶段又划分为两个阶段：前概念或象征思维阶段（2～4岁）和直觉思维阶段（4～7岁）。 第三阶段：具体运算阶段（7-12岁）：儿童这时进行的运算仍需具体事物的支持，对那些不存在的事物或从没发生过的事情还不能进行思考。 第四阶段：形式运算阶段（12-15岁）：思维不必从具体事物和过程开始，可以利用语言文字，在头脑中想象和思维，重建事物和过程来解决问题。 并不是所有儿童都在同一年龄完成相同的阶段，但这些阶段都是必经的。 作为一个专业学数学的人，我也得明确告诉大家——真正的数学思维恰恰在于抽象的能力，不要指望完全通过形象化的方式来建立数学思维，就像我在第一堂课就告诉同学们，做题要有自己的独特程序，某些复杂过程的题目要经常画图来分析数据，画图只是帮助我们理清思路和关系，思维的形成在于解决问题。 根据皮亚杰的观点（《智力心理学》），很多孩子的智力不差，但是数学能力却不好，这是一个世界常见的现象。为什么会出现这种情况呢？ 什么是智力？智力是我们解决问题本身的逻辑思考能力。可数学是了解逻辑结构的专属科学。 我们不了解逻辑结构但依然可以用逻辑用得很好，就好比很多人不了解乐理，但是唱歌唱得很好，但这样的人不能说他音乐素养很高。同理，很多智力很高、数学能力很差的孩子也佐证了这一点。 我认为数学思维有三个不可缺少的因素： 第一个是用数学的方式把具体问题抽象出来的能力； 第二个是感受纯数学之美的能力。 第三个是建立数学模型，把数学应用起来，这可能是最高级的数学思维形式。 数学之美的传递，绝不是依靠机械传统的数学教育，很多数学家都在数学教育方面做出了努力，《爱与数学》这本书，大家可以淘出来看看。著名的数学家爱德华.弗伦克尔这段话写得非常好。
数学教育是如此僵化，我们也只能依靠自己了。 要敢于去理解抽象，敢于去挑战，这是建立数学思维需要具备的能力。这是我们这些数学教育者必须传递给受教育者的，鼓励他们；而不仅仅是学会刷题。 当然，学习数学的过程中，自觉主动学习的能力是很重要的，我们除了精神鼓励、帮忙找找学习资源、引导兴趣之外，更多的关注与陪伴。 关于进入形式运算阶段的年龄，按照皮亚杰的观点，可能要到12岁以上，才会有这种抽象思维的能力。不过很多伟大的物理学家、数学家可能十四五岁时已经在学微积分了。 皮亚杰的时代已经过去几十年，时代环境都在变化，其实是不能迷信的（我在前面就提到过这一点）。但是目前很多早教和儿童发展的观点还是延用了他的观点。 我的态度是，每个孩子的情况不同，需要我们细心观察，感同身受的和他一起学习数学。 数学家爱德华说，我们学几个和弦可能就能弹奏吉他来点缀生活，但绝不是要求你成为一个音乐家或吉他演奏专家。 我们了解数学的基本概念，有一定的抽象能力，能够感受数学之美，就能在生活中、学习其他学科时游刃有余了，并不是要求孩子们都成为数学家。 残忍地说一句，如果你不想当甩手掌柜，数学思维的培养，某种程度上来说还是要依靠家长自身的视野和对资源的把控力（另外，你自己首先要克服当年对数学的恐惧吧，否则这种心态也是会传染的，有人说这是情绪感染）。 在这个日新月异的时代，数学的学习尚且如此，更不要说给孩子制定更加系统的成长和学习的规划了。
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