各位朋友,大家好!“数学视窗”给大家分享一道有关圆的综合题,这道题目给出的条件较多,题目的难度也比较大,属于中考的压轴题,很多人看到此题后,是直接放弃。当然,对于成绩一般的学生来说,做出第一问就不错了,后面两问比较难,选择放弃是合理的。此题考查了圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形,锐角三角函数,勾股定理,平行线的性质等。下面,我们就一起来看这道例题吧! 例题:(初中数学综合题)如图1,AB是⊙O的直径,点P在⊙O上,且PA=PB,点M是⊙O外一点,MB与⊙O相切于点B,连接OM,过点A作AC∥OM交⊙O于点C,连接BC交OM于点D. (1)求证:MC是⊙O的切线; (2)若OD=9,DM=16,连接PC,求sin∠APC的值; (3)如图2,在(2)的条件下,延长OB至N,使BN=24/5,在⊙O上找一点Q,使得NQ+3/5MQ的值最小,请直接写出其最小值. 分析:大家想要正确解答一道数学题,必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路:(1)连接OC,先利用切线的性质得到∠OBM=90°,然后依据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠BOM=∠COM,然后利用SAS证明△OCM≌△OBM,可得到∠OCM=∠OBM=90°; (2)根据△MCD∽△COD,知CD^2=OD·MD,得出CD=BD=12,再根据解直角三角形得出结果即可; (3)在OM上取点D,使OD/OQ=3/5,得出△ODQ∽△OQM恒成立,再根据当D、Q、N共线时,DQ+QN最小,则可得出答案. 解答:(以下的过程仅供参考,部分过程进行了精简,并且可能还有其他不同的解题方法) (1)证明:连接OC,(证切线,连半径) ∵AC∥OM, (平行线的性质) ∴∠OAC=∠BOM,∠ACO=∠COM, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠ACO, ∴∠BOM=∠COM,(等量代换) 在△OCM与△OBM中, OC=OB, ∠BOM=∠COM, OM=OM, ∴△OCM≌△OBM(SAS), ∴∠OCM=∠OBM, ∵MB是⊙O的切线, ∴∠OCM=∠OBM=90°, ∴MC是⊙O的切线; (2)∵MB,MC是⊙O的切线, ∴OM⊥BC, ∴∠ODB=∠ODC=90°, ∵OC⊥MC, ∴∠OCM=90°, ∴∠COM=∠DCM, ∴△MCD∽△COD, ∴OD/CD=CD/MD, 即9/CD=CD/16, ∴CD=BD=12, 在Rt△BOD中,由勾股定理, 得OB=15, ∴sin∠ABC=OD/OB=3/5, ∵∠APC=∠ABC, ∴sin∠APC=sin∠ABC=3/5; (3)如图2,由(2)知AB=30,OM=25,BM=20,OQ=OB=15, 在OM上取点D,使OD/OQ=3/5, (作辅助线构造相似三角形) ∵OQ/OM=15/25=3/5, ∴OD=9, ∵OD/OQ=OQ/OM=3/5, 且∠DOQ=∠QOM, ∴△ODQ∽△OQM, ∴DQ=3/5MQ, ∴求NQ+3/5MQ的值最小,相当于求NQ+DQ最小值, ∴当D、Q、N共线时,DQ+QN最小, ∴NQ+3/5MQ最小值为DN, 作DH⊥ON于点H, ∵sin∠DOH=4/5,cos∠DOH=3/5, 可得OH=9×3/5=27/5, DH=9×4/5=36/5, ∴NH=15-27/5+24/5=72/5, 在Rt△DNH中,由勾股定理, 得DN=36√6 / 5, 即NQ+3/5MQ的最小值为36√6 / 5. (完毕) 这道题考查了圆周角定理,切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数,勾股定理,平行线的性质等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。 |
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