[原创]2012年上海高考数学（理科）试题讲解(三)

2012年上海高考数学（理科）试题讲解(三)

大罕

 

    三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

    19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：

     ⑴三角形PCD的面积；（6分）

     ⑵异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）

    解答： ⑴因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD. CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.                                                   

    因为PD=√[2²+(2√2)²] =2√3，CD=2，所以△PCD的面积为(1/2)×2×2√3=2√3.     

    ⑵连接DE,则∠EAD是异面直线BC与AE所成的角,

    在△EAD中，ED=AE=(1/2)PC=(1/2)√[2²+2²+(2√2)²]=2,AD=2√2,

    所以△EAD是等腰直角三角形，所以∠EAD＝45°，

    因此异面直线BC与AE所成的角的大小是45°.

    评论：这是一道很平凡的立几题.

   

    20．已知函数f(x)=lg(x+1).

    ⑴若0<f(1-2x)+f(x)<1，求x的取值范围；（6分）

    ⑵若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x) =f(x)，求函数y= g(x)(x∈[1,2])的反函数.（8分）

    解答：⑴f(1-2x)+f(x)＝lg(2-2x)+lg(x+1),首先求其定义域，由2-2x>0且x+1>0，知-1<x<1，

     再由0<lg(2-2x)+lg(x+1)<1，得1<(2-2x)/(x+1)<10,解得-2/3<x<1/3.

     综合得 -2/3<x<1/3.

    ⑵当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1])，因此

     y=g(x)＝g(x-2)= ＝g(2- x) ＝f(2- x)=lg(3-x),且y∈[0,lg2]

     由于x=3-10^y，因而所求反函数是y=3-10^x，x∈[0,lg2].

     评论：抽象函数符号下蕴含有定义域的限制.g(x)的周期性及偶性均需要运用，求出函数解析式后再求其反函数，一气呵成.  

    

    21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=(12/49)x²；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

    （1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

    （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）

     解答：（1）当t=0.5 时，失事船在P点处被救援，P的横坐标x_P=7t=7/2 ，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y_P=3. 

     由A(0,-12),P(7/2,3)知|AP|=√949/2，所以救援船速度的大小为√949海里/时. 

     由tan∠OAP=(7/2)/(3+12)=7/30，得∠OAP=arctan(7/30)，故救援船速度的方向
为北偏东arctan 弧度.  

    （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t²).

     由vt=√[(7t)²+(12t²+12)2]，v²=144(t²+1/t²)+337≥144×2+337=625,所以v≥25，此时t=1.

     因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.

   评论：本题的设计，通俗自然不失巧妙，不偏不怪不难不易，颇有中庸之道.

 

    22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1.

    （1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（4分）

    （2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点，若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ；（6分）

    （3）设椭圆C₂：4x²+y²=1. 若M、N分别是C₁、C₂上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）

     解答：（1）双曲线C₁： x²/(1/2)-y²=1，左顶点A(-√2/2,0)，渐近线方程：y=±√2x.过点A与渐近线y=√2x平行的直线方程为y=√2x+1 .

     解方程组y=-√2x且y=√2x+1，得x=-√2/4,y=1/2,

     所以所求三角形的面积S=(1/2)|OA||y|= S=(1/2) (√2/2)(1/2)|= √2/8.

   （2）设直线PQ 的方程是y=x+b.它直线与圆x²+y²=1相切，

       ∴|b|/√2=1,即b²=2.  

    联立y=x+b和2x²-y²=1，消去y得 x²-2bx-b²-1=0.

    设P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，则x₁+x₂=2b, x₁x₂= -b²-1,.

    ∴向量OP?OQ= x₁x₂+ y₁y₂=2 x₁x₂+b (x₁+x₂)+b²=2(-b²-1)+b?2b+ b²= b²-2=0,

    故OP⊥OQ.                                            

    （3）当直线ON垂直于x轴时，

     |ON|=1，|OM|=√2/2，则O到直线MN的距离为√3/3.

     当直线ON不垂直于x轴时，

     设直线ON的方程为y=kx，则直线OM的方程为y=(-1/k)x,.

     联立y=kx和y=(-1/k)x,，得x²=1/(k²+4), y²=k²/(k²+4)，所以|ON|²= (k²+1)/(k²+4).

     同理|OM|²= (k²+1)/(2k²-1). 

     设O到直线MN的距离为d，

     ∵ (|OM|²+|ON|²)d²=|OM|²?|ON|²，

     ∴ 1/d²=1/|OM|²+1/|ON|²=(3k²+3)/(k²+1)= 3)，

     ∴d =√3/3.    

    综上，O到直线MN的距离是定值.

 

    23.对于数集X＝{-1,x₁,x₂,…,x_n},其中0<x₁<x₂<…<x_n，n≥2，定义向量集Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}. 若对于任意向量a1∈Y，存在向量a₂∈Y，使得a₁a₂＝0，则称X具有性质P. 例如X={-1,1,2}具有性质P.

    （1）若x＞2，且{-1,1,2,x}具有性质P，求x的值；

    （2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x_n＞1时，x₁=1；

    （3）若X具有性质P，且x₁=1，x₂=q（q为常数），求有穷数列x₁,x₂,…,x_n的通项公式.

     解答：参见http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d01016a11.html