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各位朋友，大家好！今天，“数学视窗”给大家讲解一道有关数形结合的几何综合题，这道题目中的条件比较多，需要解决两个小题，有一定的难度。大家在做题时必须完全弄清所给出的条件之间的联系。此题考查了圆的综合运用、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！ 例题：（初中数学综合题）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA． （1）若点A可在优弧BC上运动，且∠BAC=60°，OA=1，求△ABC面积的最大值． （2）若点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m+2=n． 分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路： （1）连接OB、OC，则∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，即可求OD=1/2OB=1/2OA；由于BC长度为定值，所以当BC边上的高最大，△ABC面积就最大，据此即可求解； （2）设∠OED=a，由图可知∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-ma-na=1/2∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-ma-na+2ma=180°+ma-na，据此即可求解． 解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法） （1）解：如图，连接OB、OC， ∵OD⊥BC于点D， ∴∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°， ∴∠OBC=30°， ∴OD=1/2OB=1/2OA=1/2， 在直角三角形BOD中， BO=OA=1，OD=1/2， ∴BD=√3/2， ∵BC长度为定值， ∴当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大， 即AD经过点O时，AD最大， 故：AD=AO+OD=3/2， ∴△ABC面积的最大值为： 1/2×BC×AD =1/2×2BD×3/2 =1/2×√3×3/2 =3√3/4； （2）证明：设∠OED=a，则∠ABC=ma，∠ACB=na， 根据三角形内角和定理，得 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB =180°-ma-na =1/2∠BOC=∠DOC， ∵∠AOC=2∠ABC=2ma，（圆周角定理） ∴∠AOD=∠COD+∠AOC =180°-ma-na+2ma =180°+ma-na， ∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE=a， ∴∠AOD=180°-2a， 即：180°+ma-na=180°-2a， 化简，得：m+2=n． （完毕） 这道题考查了圆的内容、直角三角形的性质以及三角形内角和公式等知识，解答本题的关键是灵活运用三角形内角的关系，再根据数形结合求解。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。 |
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