“有温度的数学”——负数发展的源与流

imnobody2001 2021-11-12

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学习“负数的初步认识”这一内容，有学生问：为什么要发明负数？我觉得即使没有负数对我们的生活影响并不大……数学书上“你知道吗”还告诉我们：中国是最早认识和使用负数的国家，这个“最早”是不是说明我们就是最聪明、最先进的？

分析：

1.负数的产生

数学的产生无非就是两个路径：一是实践的产物，二是数学自身逻辑的产物。负数的产生就是如此：一方面是源自人们生活中的经验，如交易中的盈利和亏损，个人收支的得与失等；另一方面也是数学自身的发展需求，如减法运算中，两个正数相减不一定得到正数。为了解决这些问题，人类不得不创造出一类新数，把数的领域从正数扩大到负数的领域。

现在有很多秦汉时期的竹简陆续被发现，在甘肃省居延海附近发现的汉代竹简上，出现了大量的负数运算的宝贵史料，如“万岁候长”有“负四筭，得七筭，相除得三筭”。“筭”为古字“算”，“相除”就是相减，“负”是欠人家的，其算法是7-4=3，实际应是（－4）+7=3。又如“相除以负百二十四筭”，即指－124。这些出土文物，都雄辩地证明负数在我国的起源是很早的。

公元3世纪，我国伟大数学家刘徽（约225—约295）在《九章算术》注中，率先给出了负数的精辟定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”这两句话说，在计算过程中，遇到具有相反意义的两数，以正数和负数来区分它们。刘徽关于正负数的定义，是建立在当时的人们使用正负数运算的经验之上的，是以凝练的词语、确切的含义对这一实践的理论升华，是负数发展史上的一个里程碑。

关于负数的表示，较早有这方面记载的也是中国和印度。聪明的中国祖先是采用筹算来表示正负数的，譬如：用红筹表示正数，黑筹表示负数；用正摆表示正数，用斜着摆表示负数；用截面为三角形的筹表示正数，用截面为正方形或矩形的筹表示负数；用斜画一杠表示负数，通常画在最后一位有效数字上；在负数后面写一个“负”字；用文字表示正负号……但令人遗憾的是，中国古代数学始终没有创用简明的符号来表达负数，这是一个致命的弱点，它严重阻碍了中国数学的大发展。后来印度的数学家婆什伽罗在《算法本源》一书中，首次提出用记号表示负数，即在数字的上面加上小点或小圆圈来表示负数，这应当是负数发展史上的又一次超越。

2.负数“被认可”的过程

中国人、印度人在1000多年以前就认识了负数，并使用正负数进行简单加减运算，可是西方国家对负数的认识却经历了一段艰难曲折的历程。希腊数学家丢番图一方面应用着负数，并且给出负数的运算法则，另一方面却拒绝方程的负根。丢番图这种矛盾的双重性态度，代表了西方世界较为普遍的倾向，即实践上加以应用，理论上拒绝承认负数。就此，他们又展开了长时间的深入思考，思考的焦点凝聚于一点就是：方程到底有没有负根？

法国数学家阿纳德还举出一个例子来反对负数，他说，承认－1/1=1/－1，而－1<1，那么较小数与较大数的比，怎能等于较大数与较小数的比呢？这个责难引起了不少数学家的赞同，连德国大数学家莱布尼兹也认为这个责难是有道理的。第一个给负数正确解释的是意大利著名数学家斐波那契，他在《算盘书》（1202年）中认为负量是有意义的，可表负债，但它也不承认负根。

从15世纪直到19世纪，西方世界对于负数的争论达400多年之久，18世纪达到高潮。著名数学家德摩根在《论数学的研究和困难》（1831年）一书中，仍坚持负数是荒谬的观点，他也举了一个具有“说服力”的例子说：“父亲活56岁，他的儿子29岁。问什么时候，父亲的岁数是儿子的2倍？”他设X年时，父亲为儿子年龄的2倍数，并列出方程56+X=2（29+X）,解得X=－2。他说这个结果是荒唐的。事实上，X=－2可以理解为父、子年龄退后两年便是问题之解。

在欧洲一些数学家无法撩开负数的面纱，但也有一些思想开放的数学家逐渐读懂了负数的内涵。意大利数学家邦别利在《代数学》（1572年）一书中正式给出了负数的明确定义。荷兰数学家基拉德在《代数新发现》（1629年）中第一次提出了代数的基本定理，最早指出一元n次方程有n个根，他是欧洲最早承认方程负根的数学家，同时第一个提出用负号“－”表示负数。从此，负数符号“－”逐渐得到人们的公认，一直沿用至今。再后来大数学家笛卡尔在《方法论》（1637年）一书中，系统建立了平面笛卡尔直角坐标系的应用，讨论了决定正根和负根的“笛卡尔法则”，负数才得到新的地位，显示出了它的独特魅力。

回顾西方对待负数的态度转变，我们可以看大数学家高斯的一段总结：早年的代数学家叫方程的负根为假根，当与它们有关的问题是用这样的方式来表达，即所求的量的性质不能有相反的量时，这个讲法的确是真实的。然而，正如分数对许多可数的东西毫无意义而言，而我们却在广义的算术里毫不踌躇地承认了它一样，我们不应该只因为有无数的东西不许其有相反的量，就否认负数有同于正数的权利。因为在其他无数的场合中，负数也具有合宜的解释，所以它的真实性就得到充分的佐证了。这段话，言简意赅地说明了负数在西方开始被拒绝的原因与后来又被接受的理由。

负数概念的建立在数学发展中是一个重要的里程碑。负数作为数概念的一次扩展，其意义至少包含以下几个方面：首先，负数的概念是客观存在的。生活中存在着许多相反意义的量，人们无法对它完全回避；其次，负数是方程的需要。引入负数以后，可以使更多的方程有解，而且可以对方程作更一般的讨论，而不必回避很多类型的方程；再次，负数还是数的运算的必然结果。两个正数相减，不够减就需要用负数来表达其运算结果。引入负数，构成整数系统，这样对于加、减、乘的运算就都是封闭的了。

为什么负数在东方能较早得到认可，而在西方普遍较晚呢？以我国为例，至少有以下几个方面的原因对负数概念的提出起到了促进作用：首先，我国在汉朝的社会生产力大大提高，现实生活中具有相反意义的量不断出现，实践中提出许多与负数有关的问题，使得负数概念的产生成为一件必要的事；其次，我国数学家普遍具有实用的态度也是重要原因。东方数学比较注重实用，而不太注意逻辑的严密性。我国最早产生负数是为了解决生活中越来越多的亏欠、负债等现实问题，是实践的需要。在东方，人们对有用的就引入使用，并没有纠缠于负数存在的逻辑基础，或过多考虑其中可能存在的更深刻的矛盾；再有一点值得提及的是，我国传统哲学所注重的阴阳对立、矛盾双方相反相成等辩证观念，也深刻影响了我们对负数概念的理解。刘徽对负数的认识就是从阴阳对立双方相反相成的观点出发进行论述的。

与此相对，这些有利引入负数的条件在当时的西方却不具备，其中最重要的一点就是东西方在数学基本观念上的差别。西方数学家继承了古希腊的数学传统，不像中国数学家那样注重实用，而是更为强调逻辑。虽然西方人也会经常面对生活中具有相反意义的量，他们的数学观念却阻碍了他们从实践中产生负数的概念。可以说，正是西方数学传统中具有的对逻辑严密性的情有独钟的倾向，阻碍了西方人对负数的认可，同时也促使他们对负数进行了更深刻的思考。所以，东西方对于负数接受得早与晚，不能简单地用先进与落后来评价，这段历史倒是让我们看到了不同民族的社会背景、传统文化对于数学发展造成的深刻影响。

3.教学建议

在具体教学中要强化对于负数意义的理解，不能仅仅满足于一种形式化的认识。“像-20、-15这样的数都是负数”，这只能算是给负数“拍了一张照片”。要深刻理解负数能够表示“与正数意义相反的量”这层含义，这里的“意义相反”是教学的重点，同时也是学生认识的难点所在。教学中，要引导学生经历数学史上那些关键的步子，关注负数产生的两个可能的源头：生产生活的需要和数学自身的需要。对于“中国是最早认识和使用负数的国家”这段介绍，要更加辩证、全面地加以分析，不能简单地用先进或落后来评判，可以通过相关数学史料的补充引导学生对东西方的文化，尤其是数学文化做更深入的了解，甚至可以将相关的研究和探索延伸到课后。