 欧拉一生著述颇丰，但据说最重要的作品是《无穷分析引论》。我翻阅这本书时，读到的第一个让我感觉到新奇的东西就是分式函数展开成幂级数的方法。这个题目是这样的：将 写成幂级数的形式，其中 是变量，其余字母是常量且不为 。 可能很多人第一反应是利用泰勒级数，但欧拉不是这样做的，下面介绍书中的两种做法。 方法一：利用连续除法书中没有说连续除法的具体做法，为便于大家读懂，我写成下面这样：  不知道大家能不能看明白，上面把分子看成一个多项式，除了首项（常数项）之外各项系数都是 0，再用它除以分母，要求每次除得的结果第一项为 ，依次进行可得结果。这个除法和通常的多项式除法不同之处在于，通常的多项式除法总是从最高项开始的，而这里却是从最低项开始的。 熟悉级数的读者可以自行研究上述级数的收敛区间。 方法二：待定系数法这个方法比较简单，就是令原式等于一个多项式：，然后两边同时乘以分母，得到：  然后比较各项系数可以得到： 从以上的第二个式子开始，每个式子只有一个未知项，而且都是一次的，显然依次计算可得结果。欧拉说，在分母的次数高于一次时这样的做法更好一些。这样我们就绕开了泰勒展式需要求导数的“麻烦”，而用近似于初等数学的方法得到了结论。在这之后欧拉又立刻继续研究了几个分式的幂级数展开式，包括但不限于以下两个，以及分母的常数项为 的情况，大家可以自行研究： 今后如果我还有什么发现，随时和大家分享。不过我要说明的是，不同的人读同一本书，哪怕是数学书这种极“客观”而不容易有不同理解的书，所读出来的体会和收获也是很不同的。所以我还是更希望大家读原著。当然，对不懂外文的我，只能把翻译版称为“原著”了，希望译文是可靠的（我尽量在发文章前自己做一遍题，不过我的水平是连“半瓶子醋”也算不上的，勉强能算是个醋瓶子底吧）。 |
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