 提要 面积法是运用几何图形（主要是三角形）的面积公式以及面积的基本性质（指面积的唯一性，可加性，可比性，异形等积性）来解决几何问题的方法。某些条件与结论中似乎与面积无关的问题用面积法处理，比用其他方法来处理更显得简单方便。 知识全解 一．面积法的概念 我们把根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关计算面积的公式，定理或图形的面积进行解题的方法称为面积法。运用面积法解题具有直观，简便，灵活，新颖等特点。 熟练掌握三角形等基本图形的面积公式是运用面积法的关键。 二．面积法解题的常用方法和技巧 （1）直接法：根据面积公式和性质进行运算或推理实现解题的方法。 （2）等积法：根据面积的等积性质进行转化获得解题的方法，常用的有同底等高，同高等底和全等的等积转化。 （3）割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题。 （4）代数法 （5）构造特殊图形法；整体与局部结合的思想等方法。其常用的方法有：1.同一图形的面积用几个不同式子表示；2.面积相等；3.一个图形的面积等于几个分图形面积的和。 学法指导 类型1 利用等积关系证明几何命题 例1 已知□ABCD，点E是BC边上一点，F为AB边上一点，且AE=CF，AE与CF交于G，连接DG。求证：∠DGA=∠GGC  又∵AE=CF ∴AE,CF上相应的高相等，即D到FC,AE的距离相等。 ∴DG是∠AGC的平分线，即∠DGA=∠DGC 【点评】解答本题的关键是证明点D到FC,AE的距离相等，而AE=CF，故只需证明△ADE与△CDF的面积相等。 类型2 利用面积的和差共线证明几何命题 例2 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高  已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC,BG⊥AC，垂足分别为E，F，G，求证：DE+DF=BG  又∵AB=AC ∴BG=DE+DF 【点评】本题若用三角形全等来证，显然比较复杂。若从面积考虑，连接AD，将△ABC分成两个三角形△ABD和△ACD，而这两个三角形的面积表达式都容易求得，解答非常容易。 类型3 利用面积的比例关系证明几何命题  【点评】本题抓住“等高的三角形面积之比等于底的比”来证，相当简便。 链接中考 考点1 利用面积法求解三角形问题 例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90度，AC=5cm，BC=12cm，求斜边AB上的高。  即5×12=13CD ∴CD=60/13 cm 因此，斜边AB上的高为60/13 cm 【点评】直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半，也可以等于斜边与斜边上的高的乘积的一半。 考点2 利用面积法求解函数问题 例2 如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E在BC边上运动，连接AE，过点D作DF⊥AE，，垂足为F，设AE=x，DF=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图像是（）   ∴xy=12 ∴y=12/x 又∵在△ABE中，3≤AE≤5 ∴3≤x≤5 故选C 【点评】通过观察发现，点E在BC上运动时，△ADE的面积没有发生变化，因而根据三角形的面积公式，可找出底与高之间的关系。当然本题也可以通过相似的方法予以解决。 |
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