中考数学压轴题分析：图形的旋转与几何求值问题

本文内容选自2021年沈阳中考数学压轴题。以等腰三角形共顶点旋转为背景，考查几何求值问题，是一道比较综合的题目。

---

【中考真题】

（2021·沈阳）在中，，中，，，，，点，，不共线，点为直线上一点，且．
（1）如图1，点在线段延长线上，则　  　，　　（用含的代数式表示）；
（2）如图2，点，在直线同侧，求证：平分；
（3）若，，将图3中的绕点按顺时针方向旋转，当时，直线交于点，点是中点，请直接写出的长．

---

【分析】

（1）由三角形的内角和可以得到∠ECD的度数，先求出∠ABC=∠ACB=2α，然后再根据∠PBC=∠PDC，得到∠ABP=α。其实也可以说明BP会平分∠ABC。

（2）有了前面（1）的基础，可以循着上面的思路进行证明。只需求出∠PBC的度数即可。题目中BC、CD、CE相等的关系不变，那么点B、D、E三点是共圆的，圆心是点C。不过本题只需要连接BD，得到∠PBD=∠PDB，∠CBD=∠CDB，进而得到∠PBC=∠PDC=α即可。

（3）本题旋转过程中有两种情况可能会垂直，因此需要进行分类讨论。当E在BC上方时，或者E在BC下方时。画出图形，再根据特殊角进行运算。

①如下图所示，可以发现GM是△PBD的中位线，只需求出PB的长即可。在△PBC中，∠PBC=30°，∠BPC=45°，因此构造直角三角形进行求解即可。

②如下图所示，，情况类似，只需求出BP的长即可。此时易得∠PBC＝30°，∠PCB=15°，作垂直解三角形即可。

【答案】（1）解：如图1中，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2）证明：如图2中，连接．

，，
，，
，
，
，
平分．
（3）解：如图中，设交于．

，，
是等腰直角三角形，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，设交于，当时，同法可证．

，，
，
，
，，
，
，
，
，
综上所述，的长为或．