数论中的局部化介绍

设 是一个素数， ，，

此时我们称 在 处的指数赋值为，记为

可视为 的一个函数，它具有性质：

.

.

特别地，当有一个小于其它任一个，比方说:

时，有

此特殊情况在高中数学竞赛中占有非常重要的地位！

由性质我们可将扩充定义为

，有

扩充定义后，性质仍成立.

常用到的结论有：

此等式右边每项依次可解释为中恰为的倍数的个数.

对于，若，则在中贡献为，在中的贡献也为，故等式成立.

，其中为将进制表示后其数字和.

证：设，，.则

将上述等式相加，右边按分子分类相加，得

已知，则

例求证:

求证:

其中.

证：因为，

而，且

评析：不需考虑的计算结果即整体情况，而是专门攻击它在某素因子的指数赋值即局部情况！此小题也可考虑等，但考虑就不是很好，为什么？

令

则

若存在 ，

使，则可设：

其中，且.

但

且

与的定义矛盾.

中仅有一个能取到，中仅有一个能取到.从而

.

从而结论成立.

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