中考数学压轴题分析：四点共圆与直角三角形的存在性问题

本文内容选自2021年鞍山中考数学几何压轴题。四点共圆型旋转与直角三角形的存在性问题综合，图形典型常见，问法新颖。

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【中考真题】

（2021·鞍山）如图，在中，，，过点作射线交射线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作交直线于点，在上取点，使．
（1）当与线段相交时，
①如图1，当时，线段，和之间的数量关系为　  　．
②如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出的长．

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【分析】

（1）填空题，进行判断比较容易，猜测AE=CE+CF。本题其实非常常见。由于∠ACB=∠AEB=60°，那么可以发现点A、B、E、C四点共圆。易得对角互补，我们可以直接将△ABE绕着点A逆时针旋转至AB与AC重合，再进行证明即可。

当然，也可以直接延长BC交AF于一点P，并证明产生的大三角形△APE为等边三角形即可。

（2）角度变化，结论类似，不过也有点小差异。还是根据四点共圆，进行旋转或者截长补短都可以。

方法与上面类似，那么就可以得到一个等腰直角三角形。也就是说BE+CE=√2AE。

（3）本题较难，因为△CDE为直角三角形需要分成3种情况进行讨论。

如下图所示，此时仍然有四点共圆，由于∠ABC不等于90°，那么∠AEC也不可能为90°，所以只剩下两种可能。

①如图，由于AC=AB，当∠CDE为直角时，根据三线合一，可以求出CD、CE的长。由于CF与AD平行，那么过点F作FK⊥AD即可得到一个矩形。那么就可以得到FK=CD，在利用三角函数得到AF的长即可。

②当∠DCE=90°时，如下图所示，此时可以得到∠BCE=90°，那么就可以得到BE为直径，∠BAE也为直角。根据三角函数可以求出BE与CE的长，然后再根据∠DEC=∠DBA，得到∠DEC的三角函数值，由CE求出DE、DC等长度。再根据CF与AD平行，那么可以在直角三角形ACF中求出AF的长。

【答案】解：（1）①结论：．
理由：如图1中，作交于．

，，
是等边三角形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
②如图2中，结论：x．
理由：过点作于．

，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图中，当时，过点作于，过点作于．

在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．

如图中，当时，，

，
，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．.