教学研讨 | 4.4.3不同函数增长的差异（2019版新教材）

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导读：

      通过图象、表格（数形结合）了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义。

研讨素材一

一、教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

二、教材分析：

      1.探究指数函数与一次函数的增长差异

本章就是通过指数函数与一次函数增长差异的实例引入指数函数的概念，本小节进一步以具体函数为例，通过探究让学生进一步体会它们的增长差异，从而对指数函数有进一步的认识教材是从一个较小的范围到一个较大的范围，让学生通过图象和数表逐步观察函数和y=2x的增长变化情况。在区间[0,3]上，可以观察到两个函数的增长差异不大：而在区间[0,20]上，则可以观察到两个函数的增长差异就很大，如果在更大的范围内，两个函数的增长差异就更加明显了，这正说明了指数函数的增长由慢变快且越来越快的爆炸性增长的特点。

这里之所以选择一次函数与指数函数进行比较，除了能体现这两种函数的增长差异外，还能较好地体现指数函数爆炸性增长的特点。在实际教学中，还可以选择其他的一次函数和指数函数进行比较，这里主要是让学生直观地感受不同函数的增长差异，不必给出严格的证明。

 

2.探究对数函数与一次函数的增长差异

与指数函数类似，教材也是通过探究，让学生根据图象和数表逐步观察两个具体函数y=1gx和的增长变化情况。在区间[0,60]上，可以观察到两个函数的增长存在明显的差异。为了更好地体现对数增长逐渐趋缓的特点，教材还进一步提出了“思考”问题，将y=lgx放大1000倍，提高其增长速度，然后再与进行比较，让学生得到类似的结论

之所以选择一次函数y=lgx而没有选择y=x与对数函数进行比较，是因为的增长速度比y=x慢，这样更能体现对数函数y=lgx增长逐渐趋缓的特点，在实际教学中，还可以选择增长速度更慢的一次函数与对数函数进行比较，或将y=lgx放大更多倍。另外，也可以在更大范围内观察一次函数与对数函数的增长差异。这里主要也是让学生直观地感受不同函数的增长差异，不必给出严格的证明.

3.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义

第136页的“探究”主要是为了让学生感受到指数函数与一次函数的增长差异，初步体会“指数爆炸”；第137页的“探究”主要是为了让学生感受到对数函数与一次函数的增长差异，初步体会“对数增长”；第138页的“探究”将指数函数、对数函数和一次函数放在一起进行比较，主要是为了让学生进一步感受三者的增长差异，再次从图象上直观地体会“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义。学生有了对不同函数增长差异的认识，在后续学习中就能根据这种增长差异，选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律，并更好地理解不同函数类型的特点，逐步理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义.

      4.信息技术的使用

   在本小节的教学中，信息技术将起到至关重要的作用。教材主要是通过图象和表格数形结合地体现各个具体函数之间增长变化的差异。如果没有信息技术，要计算出各个函数的值并准确地画出它们的图象，几乎是不可能的，特别是想根据需要观察不同范围内各函数间增长的差异，只有通过信息技术改变坐标单位或视窗设置才能方便实现.

教学中，不仅可以利用信息技术分别作出教材中各个具体函数的图象及其对应的表格，还可以设置a,b,k的取值，并通过控制a,b,k的连续变化展示对应的函数和y=kx的图象的增长变化情况。

5.练习教学

本小节设置了三个“探究”和一个“思考”，没有设置例题，练习要结合“探究”和“思考”的结论来完成.

练习第1题，通过比较不同变量的值，理解“指数爆炸”的含义.

练习第2题，通过比较具体的指数函数和一次函数的增长差异，进一步理解“直线上升”和“指数爆炸”的含义.

练习第3题，利用函数图象解决问题，进一步体会对数函数和一次函数增长的差异。

练习第4题，根据不同函数增长的差异选择函数模型，进一步理解“对数增长”的含义。

 

三、教案精选

 

教学目标：

1. 在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；

2. 通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识；

3. 在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养.

教学重点：

   在信息技术的辅助下，直观了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义.

教学难点：

   几种增长函数模型的应用.

教学过程： 

一、情境引入、复习回顾

 

【问】在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？

我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．

 

 

二、问题探究，学以致用

 

 

虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.

下面就来研究一次函数，指数函数  ，对数函数在定义域内增长方式的差异.

问题探究一：

以函数与 y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.    

          

分析：

(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数 y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.

 

(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

 

(3) 观察两个函数图象及其增长方式：

结论1：函数与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4);

结论2：在区间(0,1)上，函数的图象位于y=2x之上;

结论3：在区间(1,2)上，函数的图象位于y=2x之下;

结论4：在区间(2,3)上，函数的图象位于y=2x之上.

综上：虽然函数与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是的增长速度改变，先慢后快。

 

【问】请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系?

【生】随着自变量取值越来越大，函数的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和的增长相比几乎微不足道.

 

【设计意图】通过画出特殊的指数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；

总结一：函数y=2x与在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：

虽然函数y=2x与在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.

尽管在x的一定范围内，，但由于的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有.

总结二：一般地指数函数与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.

即使k值远远大于a值，指数函数虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个，当时，的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.

如下图，将k不断变大：

例1. 三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：

 

其中关于x呈指数增长的变量是         .

【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。

 

问题探究二：

以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.              

分析：

(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异.

(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

(3) 观察两个函数图象及其增长方式：

总结一：虽然函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.

 在(0,+∞)上增长速度不变，在(0,+∞)上的增长速度在变化.

随着的增大，的图象离x轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.

例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；

 

这表明，当，即，比相比增长得就很慢了.

思考：将放大1000倍，将函数与比较，仍有上面规律吗？

先想象一下，仍然有.

 

总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.

不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.

例2．函数的图象如图所示．

 

（1）试根据函数的增长差异指出曲线C₁，C₂分别对应的函数；

（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对的大小进行比较).

解：（1）C₁对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C₂对应的函数为f(x)＝lg x.

（2）当x<x₁时，g(x)>f(x)；当x₁<x<x₂时，f(x)>g(x)；

当x>x₂时，g(x)>f(x)；当x＝x₁或x＝x₂时，f(x)＝g(x)．

问题探究三：

     类比上述过程，

  （１）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；

 

总结一：虽然函数，函数与在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.

在(0,+∞)上增长速度不变，函数与在(0,+∞)上的增长速度在变化.

函数的图象越来越陡，就像与轴垂直一样；函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.

（２）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；

总结二：一般地，虽然一次函数，对数函数和指数函数在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而指数函数的增长速度越来越快；对数函数的增长速度越来越慢.

不论值比值小多少，在一定范围内，可能会小于，但由于的增长会快于的增长，因此总存在一个，当时，恒有；

同样，不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.

（３）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．

直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；

对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样；

指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样.

【问】你可以再举出几个生活中的例子吗？

例3.下列函数中随的增大而增大且速度最快的是（    ）.

解：A.结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确.

例4. 函数的图象如图所示，则可能是（     ）.

解：正确答案为C.从几何的角度，各选项的函数图像依次为：

从代数的角度，A,B,D的值域与原函数不同.

 

三、引导反思、归纳总结：

  1.研究了一次函数，指数函数  ，对数函数在定义域内增长方式的差异;

  2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数;

  3.理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义，在实际应用中会选择适当的函数模型.

【教案来源于网络，作者：北京市第五中学 赵良珮    指导教师:北京市东城区教师研修中心 李颖，版权归原作者所有,仅供各位老师学习和研究】