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这两天微博热搜里出现了一条跟数学沾边的热门话题——"一元一次方程太贵了".笔者点进去一看,才发现原来是网友分享的班级群聊天记录里授课老师发通知称要进行一元一次方程讲解.有家长误解其意,认为讲解方程一次得收一块钱,那么多方程讲解下来得付不少钱啊,于是直呼太贵了.可能是看到初二群里有的老师要讲解一元二次方程,个别家长看到了觉得不公平,为什么别的群里一元两次收费而本群是一元一次收费?其实引发此等热议的不是别的缘故,只因人们误解了"一元一次方程"中"元"这个字的含义,这才闹出了笑话. 笔者先前为初中学生授课时,曾多次强调一元方程或者二元方程中的"元"是指未知数的意思.一元一次方程是指方程中的未知数只有一个,并且最高次数为1.同理,一元二次方程中的未知数也只有一个但最高次数却为2.为什么笔者特别要解释这个呢?原因在于,中学阶段有部分题是考查学生对方程的分类判断.倘若学生对方程分类的判别方法都不了解,那不仅仅是这类题做不对那么简单了,往严重说连基本知识都没掌握. 在中学阶段,我们非常清楚一元一次方程的解法,同时也学会使用加减消元法和代入消元法求解二元或三元一次方程组.往后,我们也学习了一元二次方程的解法,大体上罗列有:
我们用这些惯用方法可以彻底求解一元二次方程,甚至于我们也可以给出方程有无实数根的判定条件.进入高中学习之后,我们不免发现接触的线性方程大多数均是次数为2的.或许我们会求解简单的二元二次方程组,但是遇到三次方程如何求根却是无可奈何. 一、一元多次方程的解法到Galois理论从历史上来看,一元三次方程根式解法的发现并不是那么容易的,有的涉及了很多有趣的小故事.远远不像前几天举办的阿里巴巴数学竞赛那样困难,那个时候的竞赛题可能就是求一个一元三次方程的根.谁可以在最短的时间内正确地求解对方给出的一个一元三次方程,谁就是获胜方.这听起来极具有戏剧性,然而这放在当时的时代背景下却是不足为奇的,这就好像三四百年后我们的后代看21世纪的数学成果一样"不屑".随着一元三次方程的解法公诸于世,人们马不停蹄地开始研究一元四次方程的解法.或许是自然的思维方式驱动着他们,要想求解高次方程必须先把次数"降"下来,即所谓的降"次",而降"次"的一个主要手段是:换元.这种思想在数学里面是司空见惯的,我们总是希望能够将未知的问题转化到已知上去.这个时候什么是已知,也就不难发现了. 笔者是在大二听师大数学系陈跃教授的《高等几何》课上系统学习到的.在此之前笔者听说过一元三次方程和一元四次方程的解法,但是却没有系统地学习解法的主要思想和关键步骤.陈老师花费了两节课时间为我们讲解了当时的数学家解决问题的思路,值得说明的是,那时候的笔者认为作线性换元的技巧性比较强,曾数次慨叹数学家的聪明才智.在了解过一元三次和一元四次方程的根式解后,笔者逐渐从一些数学书中了解到一般的一元五次乃至更高次方程并不存在求根公式.1825年,挪威数学家阿贝尔(Abel)证明: ★ 或许正因为人们充满了对数学的好奇心,提出了"一元五次方程有无根式解"的好问题,致使大量的数学家工作于此.尽管很多努力从结果来看是徒劳的(in vain),但正因为该问题不那么容易解决,才吸引了几代的数学家前赴后继地展开研究.要知道对于数学家而言,能够解决一个极其困难的问题才是自己人生的价值体现.然而,数学家Abel的结果还并不是最完备的,直到天才数学家伽罗瓦(Galois)给出惊人一击: ★ 许是天妒英才,天才数学家伽罗瓦过早离开人世.这位公认的数学天才,也为后世创造了丰富的数学财富.关于伽罗瓦本人的理论,上海交通大学章璞教授曾写过一本书,名为《伽罗瓦理论——天才的激情》,但对于读者而言需要的基础是修过数学系本科"抽象(近世)代数"课程. 二、多元一次方程(组)的解法到线性空间理论刚才我们谈到由一元多次方程的解法,可以逐渐引出群、域等概念.事实上,现如今的代数学前沿里已经不仅仅包含了群、环、域等代数结构,更多的我们要研究模.作为数学系学生,我们会在"近世代数"课程中了解到这些基本概念以及其理论用途,然而在此之前我们还必须学习数学系三大基础课之一——高等代数. 数学教学总是得由易入难,人们更倾向于接受具体直观的事物而苦恼于抽象复杂的空间结构.相比较下来,多元一次方程的解法显然要比一元多次方程的解法来得更加容易,前者需要消元,后者需要降次,本质上都是为了化归为已经解决的问题上去.尽管我们有求解二元一次方程组和三元一次方程组的经验,但在解决多元一次方程组上还是觉得过程繁琐.我们总是可以意识到个元一次方程所组合起来的方程组理论上必是可解的,但是为了能够简化繁琐,我们有必要引入矩阵运算: 其中 特别注意到,这里的"0"是一个维向量,而非一个简单的数字.一般地,我们还可以考虑个元一次方程组成的方程组,此时的矩阵应该为行列. 引入矩阵之后,我们可以通过对矩阵作初等变换来实现对方程组的求解.所谓透过现象看本质,求解元一次方程组本质上是对其未知数前面的系数进行考虑,因此矩阵的引入更像是为了将未知数前面的系数单独"拎"出来.毫不意外的是,我们可以对矩阵这一新事物展开研究,于是三大变换也映入眼前:
一般的高等代数教材往往前面围绕着三大变换展开叙述,然而其讨论的内容仍然受限于矩阵内部研究.尤其是对于工科同学而言,往往学习过线性代数后误以为"矩阵"才是代数课程的命脉,殊不知还有更加深刻的"线性空间"理论紧跟其后. 在笔者看来,"线性空间"理论更加抽象但又是深刻的.我们仍然以元方程组为例,单取第个方程 从另一个角度出发,我们考虑是否与n个相关向量线性无关有关系?尽管这看起来与解决方程本身没有的多大联系,然而这却为"线性空间"理论的引入提供了潜在动机.谈论空间,我们很自然地想到了有没有最基本的元素作为基础,由此可以"生"成整个"森林"? 幸运的是,线性空间可以做到.我们将线性空间中的基本元素称为"基底"或者"基",由其通过线性组合生成整个空间.现实生活中,我们特别喜欢说我们生活在三维的空间内,与之类似的是,我们定义线性空间的维数为基的个数."线性空间"理论中有许多丰富多彩的内容和漂亮的结果,这里不再过多叙述,如果感兴趣的朋友可以参考陈跃老师的这本书:  笔者注:陈跃教授这本书的特色之一是加入数学史于内,因而更适合初学者阅读.笔者曾阅读本书数次,并且写过将近五千字的书评,详文请看《高等代数与解析几何》书评.另外笔者读此书时,发现陈跃老师花了巨大的心血在试图为读者展示一些理论引入的缘由.因此,笔者推荐这本书作为有志于学习数学基础理论的朋友的入门读物. |
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