【原】八省联考引争议，Gauss-Bonnet公式显神威？

在这次的试题中，第20题关于曲率问题引发了比较大的争议。题目如下:

“

北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定:多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为。
（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数。

”

网上有人说到这题的出题背景是来自于Gauss-Bonnet公式，但是所要求解的问题其实不需要用到这个公式的知识。这里需要普及的一个知识点是:什么是Gauss-Bonnet公式？

一.三角形内角和公式

Gauss-Bonnet公式在有些教材中的翻译为“高斯-波涅”公式，该公式实际上是与下面一个平面几何的结论有很大的关联.

“

三角形内角和定理:三角形的三个内角之和等于180°.

”

这个结果在我们上小学就已经熟知的，然而这是在平面几何中成立的。也就是说如果是在一个平面上的三角形，那么它的内角之和的确是180°。

图：高斯(数学王子)

问题来了，如果是在曲面呢？即曲面上的“三角形”内角和是否等于180°呢?

二.Gauss-Bonnet公式是什么?

如果要解决上面的问题，我们就需要考虑这里所说的Gauss-Bonnet公式。

为此，我们先考虑一个曲面，假设由条光滑曲线段可以围成曲线多边形，它围成了一个单连通曲面域。其中，多边形就是的边缘。

此时，我们还需要引入两个重要的概念:高斯曲率和测地曲率。注意到前一个概念是针对曲面来说的，后者则是针对曲线。关于高斯曲率，则需要借助另一个概念:主曲率。建议读者可以参考微分几何教材进行系统学习了解。

我们这里设的高斯曲率和测地曲率分别是和，此外曲面的面积元素和弧长元素分别记为:和。是的第个内角的角度，是外角的角度。

做好上述的一系列准备工作之后，那么我们可以得到高斯曲率、测地曲率以及外角之间的关系式，也就是Gauss-Bonnet公式。

“

”

三.Gauss-Bonnet公式与“曲面”三角形内角和关系

一般我们考虑在微分几何课程里面，关于曲面上的三角形我们命名为“测地三角形”。当然，所谓测地三角形也就是三条测地线所围成的三角形。

什么是测地线呢?

“

定义:曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称为测地线。

”

所以，根据定义，还是需要了解一下啥叫测地曲率（同样读者自己参考微分几何书籍）。

注意到根据是测地线，因此测地曲率为零，即

故而关于测地线所围成的三角形内角和公式应该为:

“

”

其实，也就明确了:当曲面变为平面时，此时高斯曲率为0，因此也就是说明了平面三角形内角和的确为。

做完八省联考后的心情，大概是这样的：

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