【原】高中数学题型技巧6 证明不等式极值点偏移问题

高中数学题型技巧6　证明不等式极值点偏移问题

极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变．解决此类问题，先需理解此类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，利用函数的性质解决问题．

例1　已知函数f(x)＝xe^－x.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若x₁≠x₂且f(x₁)＝f(x₂)，求证：x₁＋x₂>2.

(1)解　f′(x)＝e^－x(1－x)，

∴x₁>2－x₂，∴x₁＋x₂>2.

方法二　(比值代换法)

例2　已知函数f(x)＝ln x－ax有两个零点x₁，x₂.

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：x₁·x₂>e².

故ln x₁x₂＝ln x₁＋ln x₂＝a(x₁＋x₂)>2，

即x₁·x₂>e².

极值点偏移问题常作为压轴题出现，题型复杂多变．解决此类问题，先需理解此类问题的实质，巧妙消元、消参、构造函数，利用函数的性质解决问题．