多边形与多边形内凸多边形周长大小关系的探索

温州市第八中学金开指导师：贾哲三

曾经看到过有如下一道题目：

问题1：D为△ABC内的一点，求AB+AC与BD+DC的大小关系。

解：延长BD交AC于点E

∵三角形两边和大于第三边

∴AB+AE＞BD+DE①

DE+EC＞CD②

①+②得

AB+AE+DE+EC＞BD+DE+CD

∴AB+AC＞BD+CD（※）

∴AB+AC +BC＞BD+CD+BC 也就是说三角形△ABC的周长大于三角形内△BDC的周长。

从图（1）看这个结论还是比较直观的，那么随着三角形内点数的增加，多边形的边数也会随之增加。那么这个结论是否还仍然成立呢？

问题2：D1，D2为△ABC内的两个点，连接BD1，

D1D2，D2C，求AB+AC与BD1+ D1D2+D2C的大小关

系。这个题目要分类讨论，因为它的图形有两种情况，

一种是凹四边形，如下（2-1）：

在这种情况下，可以通过实验法量出BD1长3cm，D1D2长2cm，D2C长5.2cm，AB 长3.3cm，AC长4.8cm，所以BD1+D1D2+D2C=10.2cm，AB+AC=8.1cm，AB+AC＜

BD1+D1D2+D2C，所以并没有研究价值。

再来看图（2-2）

解：延长BD1，CD2交于点E，延长BE交AC与点F

由（※）得AB+AC＞BE+CE