射影定理

折叠 编辑本段 概述

射影定理

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。等积式 (4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）

折叠 编辑本段 直角三角形的射影定理

所谓射影，就是灯光投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。[1]

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：射影定理

（1）BD2=AD·DC，（2）AB2=AD·AC ，（3）BC2=CD·CA。

等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明） (5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD[1]

直角三角形射影定理的证明

射影定理简图(几何画板)

：（主要是从三角形的相似比推算来的）　一、

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD2=AD·DC。其余同理可得可证[1]

折叠 编辑本段 由射影定理如下：

AB2=AD·AC，BC2=CD·CA

两式相加得：

AB2+BC2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC2 .

即勾股定理。[1]　　注： AB2的意思是AB的2次方

已知:三角形中角A=90度,AD是高.

折叠 编辑本段 证明

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。

折叠 编辑本段 用勾股证射影

∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,

∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD.

故AD2=BD×CD.

运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,

AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。[1]

折叠 编辑本段 ?任意三角形内容

任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：

△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b·cosC+c·cosB，

b=c·cosA+a·cosC，

c=a·cosB+b·cosA。

注：以“a=b·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

折叠 编辑本段 射影定理

面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”

COSθ=S射影/S原

(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)

证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。