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名仕论题|任意三角形射影定理与直角三角形射影定理

 我心飞扬695 2015-11-20
【直角三角形射影定理】
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,则
BC^2=BD·AB ①
AC^2=AD·AB ②
CD^2=AD·BD ③
【三角形射影定理】
设△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
a=b·cosC+c·cosB;④
b=c·cosA+a·cosC;⑤
c=a·cosB+b·cosA . ⑥
那它们之间究竟是什么关系呢?
任意三角形的射影定理,其特例就是直角三角形的射影定理
从④→①
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,即C=90°,AD是斜边BC上的高,
注意到cosC=cos90°=0和acosB=BD,
于是由 a=b·cosC+c·cosB得a^2=ab·cosC+c·acosB=c·BD,即BC^2=BD·AB;
从⑤→②
同理有, AC^2=AD·AB .
至于③,可以直接得到:
∵CD=AD·tanA,CD=BD·tanB,
注意到tanA·tanB= tanA·cotA=1,
∴CD^2= (AD·tanA )(BD·tanB)=AD ·BD.


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