名仕论题|任意三角形射影定理与直角三角形射影定理

【直角三角形射影定理】

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则

BC^2=BD·AB ①

AC^2=AD·AB ②

CD^2=AD·BD ③

【三角形射影定理】

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB；④
b＝c·cosA＋a·cosC；⑤
c＝a·cosB＋b·cosA . ⑥

那它们之间究竟是什么关系呢？

任意三角形的射影定理，其特例就是直角三角形的射影定理

从④→①

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，即C=90°，AD是斜边BC上的高，
注意到cosC=cos90°=0和acosB=BD，
于是由 a=b·cosC＋c·cosB得a^2＝ab·cosC＋c·acosB=c·BD，即BC^2=BD·AB；
从⑤→②

同理有， AC^2=AD·AB .
至于③，可以直接得到：
∵CD=AD·tanA，CD=BD·tanB，

注意到tanA·tanB= tanA·cotA=1，
∴CD^2= (AD·tanA )(BD·tanB)=AD ·BD.