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射影定理2

 生活-快乐 2011-10-26

射影定理

所谓射影,就是正投影。直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

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射影定理 - 简介


 

1射影定理

 射影就是正投影,从一点到过顶点垂线垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理。

射影定理 - 直角三角形射影定理


 

1直角三角形射影定理

 直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
  公式 如图,Rt△ABC中,∠BCA=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:
  (1)(AD)^2=BD·DC,
  (2)(AB)^2=BD·BC ,
  (3)(AC)^2=CD·BC 。
  证明:在 △BAD与△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2=BD·DC。其余类似可证。
  注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式(2)+(3)得:
  (AB)^2+(AC)^2=BD·BC+CD·BC =(BD+CD)·BC=(BC)^2,
  即 (AB)^2+(AC)^2=(BC)^2。
  这就是勾股定理的结论。

射影定理 - 任意三角形射影定理

  任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:
  设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
  a=b·cosC+c·cosB,
  b=c·cosA+a·cosC,
  c=a·cosB+b·cosA。
  注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。
  证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
  BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可证其余。
  
  

1任意三角形射影定理

证明2:由正弦定理,可得:b=asinA/sinB,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
  =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。

射影定理 - 面积射影定理


1面积射影定理
面积射影定理:“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”
COSθ=S射影/S原
(平面多边形及其射影的面积分别是S原,S射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ)
证明思路:因为射影就是将原图形的长度(三角形中称高)缩放,所以宽度是不变的,又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度(三角形中称高)的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形,并使斜边和一直角边垂直于棱(即原多边形图的平面和射影平面的交线),那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比,即为平面多边形的面积比,而将这个比值放到该平面三角形中去运算,即可。

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