一、证明相似三角形常见的几种类型 1、' A ' 字型 如图所示,在 △ABC 中 , 若 DE∥BC ,则有 △ADE∽△ABC 。 2、' A' ' 型 如图所示,△ADE 和 △ABC 有公共角 ∠A ,若还有 一组对应角相等,则有 △ADE ∽△ABC 。 3、' 8 ' 字型 如图所示, 若 AB∥CD ,则有 △AEB∽△DEC 。 4、” 蝴蝶 “ 型 如图所示,若 ∠A = ∠C (或 ∠B = ∠D ),则有 △AEB∽△CED 。 5、“ 双垂直 ” 型 如图所示,若 AC⊥BC ,( ∠ACB = 90° )CD⊥AB ,( ∠CDB = 90° ) , 则有三组相似三角形 : ① △ADC∽△ACB ;② △BDC∽△BCA ;③ △ADC∽△CDB 。 双垂直结论: 射影定理: ① 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; ② 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 ⑴ ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD → CD^2=AD·BD ; (2) ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC →AC^2=AD·AB ; (3) CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC →BC^2=BD·AB ; 结论1:⑵ ÷ ⑶ 得 AC^2 : BC^2 = AD :BD ; 结论2:面积法得 AB·CD = AC·BC →比例式 ,证明等积式(比例式)策略 。 二、证明相似三角形常见的几种方法 1、直接法: 找同一三角形两条边和两边的夹角 ; 变化为等号同侧的两边是同一三角形中的两条边, “三点定形法 ”。 2、间接法: ⑴ 3种代换 :① 线段代换; ② 等比代换; ③ 等积代换; ⑵ 创造条件 : ① 加平行线 —— 创造“A”字型、“8”字型 ; ② 先证其它三角形相似 —— 创造边、角条件。 相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比(相等)。 三、例题讲解 例题1、已知在 △ABC 和 △ADE 中 ,∠ABC=∠ADE ,求证:AB·AE = AC·AD 。 分析: 判断:本题属于 “ A‘ ” 型 , 策略:遇等积,化比例,同侧三点找相似。 证明略 。 例题2、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,E 为 AC 的中点,求证:AB·AF=AC·DF 。 分析:本题属于 “ A‘ ” 型 和“ 双垂直” 型的综合。 策略:斜边上面作高线,比例中项一大片,有射影,或平行,等比传递我看行。 证明: ∵ 在 Rt△BAC 中 ,∠BAC=90°,AD⊥BC , ∴ Rt△BDA ∽ Rt△ADC , ∴ AB : AC = BD : AD , ∵ 在 Rt△ADC 中 ,E 为 AC 的中点 , ∴ DE = EC , ∴ ∠EDC = ∠C , ∵ ∠FBD = 90° + ∠C,∠FDA = 90° + ∠FDB( 三角形外角和定理), 又∵ ∠FDB = ∠EDC (对顶角相等) ∴ ∠FBD = ∠FDA , ∴ △FBD ∽ △FDA ,(注:∠F 是公共角,相似中的 “ A‘” 型 ) ∴ BD : AD = DF : AF , ∴ AB : AC = DF : AF , ∴ AB·AF=AC·DF 。 例题3、如图所示,在平行四边 ABCD 中 ,E 为 DC 边上的一点 ,连接 BE , 交 AC 于点 F ,延长 BE 交 AD 延长线于点 G 。 求证:BF : FG = EF : BF 。 解题思路:有射影,或平行,等比传递我看行。 证明:略 。 例题4、如图所示,在 Rt△ABC 中, ∠A = 90° ,点 D、E、F、G 为三边上的点,若四边形 DEFG 为正方形。 求证:EF^2 = BE·FC 。 策略:四共线,有等边,必有一条可转换 。 略证:易证 △BDE ∽ △GFC (相似判定条件:两角对应相等。), 则有 BE : GF = DE : FC , 在正方形 DEFG 中,有 DE = GF = EF , 所以可得 EF^2 = BE·FC 。 例题5、如图所示,在 △ABC 中,AD 为 ∠BAC 的角平分线 ,求证:AB:AC=BD:CD 。(角平分线性质定理) 策略:两共线,上下比,两端要作平行线。(注:两共线是指求证中的线段 BD 和 CD 共线) 证明一:过点 D 作 DE∥AC ,交 AB 于点 E ,则有 △BDE ∽ △BCA (“ A ” 字型 ), ∵ △BDE ∽ △BCA , ∴ BE : AB = DE : AC , 即 AB : AC = BE : DE , 又∵ DE∥AC ∴ BD : CD = BE : AE (平行线分线段成比例定理),∠2 = ∠3 , ∵ AD 为 ∠BAC 的角平分线 , ∴ ∠1 = ∠2 , ∴ ∠1 = ∠3 , ∴ DE = AE , ∴ AB:AC=BD:CD 。 证明二:过点 C 作CF∥AB ,交 AD 延长线于点 F ,则有 △ADB ∽ △FDC ( “ 8 ” 字型 ), ∵ △ADB ∽ △FDC , ∴ BD : CD = AB : FC , 又∵ AD 为 ∠BAC 的角平分线 , ∴ ∠1 = ∠2 , ∵ CF∥AB , ∴ ∠1 = ∠F , ∴ ∠2 = ∠F , ∴ AC = CF , ∴ BD : CD = AB : AC , ∴ AB : AC = BD : CD 。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》