§6.4空间角和距离

§6.4空间角和距离

 

一、知识导学

 

1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.

2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.

 

二、疑难知识导析

 

1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.

2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.

3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得

4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.

5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.

 

三、经典例题导讲

 

[例1]　平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.

错解：.

错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.

正解：  .

[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.

错解：4个.

错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.

正解：7个.

[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（      ）

A.   　　　B.   　　　C. 　　　 D.  

错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.

正解：D.

当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多

最多可盛原来水得1－

[例4]斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA₁与底面相邻两边AB、AC都成45⁰角，求这个三棱柱的侧面积.

错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA₁垂直于M”；三是由条件“∠A₁AB=∠A₁AC∠AA₁在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.

正解：过点B作BM⊥AA₁于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=45⁰，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=90⁰，∴AA₁⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin45⁰=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S_侧=(1+)ab

[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.

解 : 本题应分两种情况讨论：

（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则于是.

根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.

在Rt△ABF中，AF=

过D作DEAC于E，则DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE= b-=.故

CD=

(2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=

点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.

[例6] （06年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.

（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；

（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.

并证明你的结论.

解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.

（2）可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点O₁，因为

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)

所以

又由知，为平面的一个法向量。

设AP与平面所成的角为，则。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。

（2）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，则Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，等价于D₁Q⊥AP即Q为A₁C₁的中点时，满足题设要求。

[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，

求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；

（2）D点到平面PBC的距离．

解: （1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE

又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．

∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD．

由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．

（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，

因此平面PDC⊥平面PBC，

作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离．

在Rt△PDC中，，DC=2，，．

平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.

[例8] 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的球面距离都是，B与C的球面距离是，求过A、B、C三点的截面到球心O距离．

分析 ： 转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决．

由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．

取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长即为

所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=

点评： 本题若注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．

 

四、典型习题导练

 

1．在平面角为60⁰的二面角内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱的距离为____________.

2．异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线，使与a ,b 所成的角均为，这样的直线有         条.

 

3．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A₁到平面EFB₁D₁的距离为             

4.二面角－－内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．

5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离．

6.如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α- -β的大小.

7.如图，已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

(1)求点A到平面B₁BCC₁的距离；

(2)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等.