谈立体几何中距离与角的向量求法

用向量方法探求立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革，《高中数学课程标准》指出：立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合，以向量法为主，这充分体现向量的工具作用。本文就立体几何中距离与角的向量求法举例说明，供参考。

一、求距离

例1 如图1，已知正方体的棱长为2，点E是棱CD的中点，求异面直线的距离。

图1

解：以DA、DC、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A₁（2，0，2）、C₁（0，2，2）、B₁（2，2，2）、E（0，1，0），=（－2，2，0），=（－2，－1，－2），=（0，2，0），设=（x，y，z）是异面直线和的公垂线的一个方向向量，则=0，=0

令x=1，得=（1，1，），异面直线的距离

注：利用向量求异面直线的距离，可避免作辅助线等复杂的推理，且过程简捷，其理论依据是：如图2，设AC是异面直线AB与CD的公垂线，则AB与CD间的距离，就是向量在公垂线方向向量上的射影长度，即

图2

例2 长方体中，AB=2，AD=1，，E、F分别是棱、DC的中点，求点E到平面的距离。

解：如图3，以D点为坐标原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A₁（1，0，3）、D₁（0，0，3）、F（0，1，0）、E（1，2，）。

图3

=（－1，0，0），=（0，1，－3），设平面的法向量为=（x，y，z）。

由=0，，得

令z=1，得=（0，3，1）

又=（0，2，），点E到平面的距离为。

注：传统方法求点到平面的距离主要是求作点到平面的垂线段，再计算垂线段的长度，或利用等体积的方法。利用向量方法的理论依据：设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且。

则点P到平面α的距离为。

二、求解

例3 如图4，直棱柱中，已知∠ABC=90°，AB=a，BC=b，BB₁=c，M、N分别为B₁C₁和AC的中点。

（1）求异面直线AB₁与BC₁所成的角；

（2）求MN的长；

（3）求MN与底面ABC所成的角。

图4

解：（1）以B为原点，BA、BC、BB₁所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A（a，0，0）、B₁（0，0，c）、C₁（0，b，c）、=（－a，0，c），=（0，b，c）

所以，异面直线AB₁与BC₁所成的角为

（2）由M、N分别为B₁C₁和AC的中点，得M（0，，c）、N（，，0）

（3）过M作MP⊥BC于点P，则P为BC的中点，连结PN，则∠MNP为MN与底面ABC所成的角。

=（，0，c），P（0，，0），=（，0，0）

故MN与底面ABC所成的角为

例4 如图5，直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形∠BAD=∠ABC=90°，BC=2，AD=8，AB=4，异面直线AC₁与A₁D互相垂直，求：A₁D与面ADC₁B₁所成的角。

图5

解：以A为原点，AB、AD、AA₁所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AA₁=a，则A（0，0，0）、B（0，0，a）、D（0，8，0）、C₁（4，2，a）、=（4，2，a）、=（0，8，－a），由得，即a=4。设平面ABC₁B₁的法向量=（x,y,z），则=0，，又=（0，8，0），=（4，0，4）因此 取x=1，得=（1，0，－1），又=（0，8，－4），设与面所成的角为θ，则

=，。

即A₁D与面ADC₁B₁所成的角为

例5 如图6，在直棱柱中，底面是等腰直角三角形，∠ABC=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。

（1）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用图反三角函数值表示）；

（2）求点A₁到平面AED的距离。

图6

解：以C为原点，CA、CB、CC₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设CA=2a，则A（2a，0，0）、B（0，2a，0）、D（0，0，1）、A₁（2a，0，2）、E（a，a，1）、G（，，）。

所以=（，，），=（0，－2a，1）

，解得a=1，因此，平面ABD的法向量为=（，，），=（2，－2，2）

设A₁B与平面ABD所成角为θ，则

所以，A₁B与平面ABD所成角为

又设平面AED的法向量为=（x,y,z），=（－2，0，1），=（－1，－1，0）

由，得

令x=1，得=（1，－1，2），=（－1，1，－1）

则点A₁到平面AED的距离

例6 如图7，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ABC=90°，SA=BC=AB=1，AD=2，SA⊥底面ABCD，求面SCD与面SAB所成二面角余弦值的大小。

图7

解：以A为原点，AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，2，0）、S（0，0，1），因SA⊥AD，AD⊥AB，故AD⊥面SAB，设=（0，2，0）为面SAB的法向量，设面SCD的法向量为=（x,y,z），则，，又=（－1，1，0），=（1，1，－1），所以 令x=1，则=（1，1，2），所求二面角的余弦值为。

注：用向量法求解空间角的理论依据是：

（1）设a、b是异面直线，，分别是直线a,b上的向量，则异面直线a,b所成的角

（2）设平面α的一个法向量为，与平面α所成的角为θ，则

（3）已知二面角α�l�β，分别是平面α和平面β的一个法向量，设二面角α�l�β的大小为θ，规定0≤θ≤π，则（这里若平面α的法向量是指向平面α内的一点，则平面β的法向量必须是由平面β内的一点指向二面角的内部，如图8，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角，如图9）