用向量方法探求立体几何问题,是高中数学新教材的一大改革,《高中数学课程标准》指出:立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合,以向量法为主,这充分体现向量的工具作用。本文就立体几何中距离与角的向量求法举例说明,供参考。 一、求距离 例1 如图1,已知正方体 图1 解:以DA、DC、 令x=1,得 注:利用向量求异面直线的距离,可避免作辅助线等复杂的推理,且过程简捷,其理论依据是:如图2,设AC是异面直线AB与CD的公垂线,则AB与CD间的距离,就是向量 图2 例2 长方体 解:如图3,以D点为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,3)、D1(0,0,3)、F(0,1,0)、E(1,2, 图3
由 令z=1,得 又 注:传统方法求点到平面的距离主要是求作点到平面的垂线段,再计算垂线段的长度,或利用等体积的方法。利用向量方法的理论依据:设平面α的一个法向量为 则点P到平面α的距离为 二、求解 例3 如图4,直棱柱 (1)求异面直线AB1与BC1所成的角; (2)求MN的长; (3)求MN与底面ABC所成的角。 图4 解:(1)以B为原点,BA、BC、BB1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0)、B1(0,0,c)、C1(0,b,c)、 所以,异面直线AB1与BC1所成的角为 (2)由M、N分别为B1C1和AC的中点,得M(0, (3)过M作MP⊥BC于点P,则P为BC的中点,连结PN,则∠MNP为MN与底面ABC所成的角。
故MN与底面ABC所成的角为 例4 如图5,直四棱柱 图5 解:以A为原点,AB、AD、AA1所在的直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设AA1=a,则A(0,0,0)、B(0,0,a)、D(0,8,0)、C1(4,2,a)、
即A1D与面ADC1B1所成的角为 例5 如图6,在直棱柱 (1)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用图反三角函数值表示); (2)求点A1到平面AED的距离。 图6 解:以C为原点,CA、CB、CC1为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,如图,设CA=2a,则A(2a,0,0)、B(0,2a,0)、D(0,0,1)、A1(2a,0,2)、E(a,a,1)、G( 所以
设A1B与平面ABD所成角为θ,则 所以,A1B与平面ABD所成角为 又设平面AED的法向量为 由 令x=1,得 则点A1到平面AED的距离 例6 如图7,四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,SA=BC=AB=1,AD=2,SA⊥底面ABCD,求面SCD与面SAB所成二面角余弦值的大小。 图7 解:以A为原点,AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,2,0)、S(0,0,1),因SA⊥AD,AD⊥AB,故AD⊥面SAB,设 注:用向量法求解空间角的理论依据是: (1)设a、b是异面直线, (2)设平面α的一个法向量为 (3)已知二面角α�l�β, |
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