教学研讨｜5.3.1函数的单调性（2019版新教材）

借助具体实例,通过观察函数图象的升降,并利用导数的几何意义建立函数的单调性与导函数的正负之间的关系;在此基础上,通过考察导数在导函数零点两侧正负性的变化情况给出函数极值的概念及其求法,并进一步研究闭区间上连续函数的最大(小)值;最后利用导数研究函数的单调性、极值与最大(小)值的综合性问题,以及简单的优化问题,体现数学运算在数学证明中的重要意义与作用,进一步发展学生的数学运算素养、逻辑推理素养.

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

教材通过对高台跳水案例的研究,引导学生发现函数的单调性与导数的正负之间有着密切的关系。

进一步地,通过给出更多具体函数的图象,印证函数的单调性与导数的正负密切相关.在此基础上,利用导数的几何意义与几何直观,得出用导数判断函数单调性的方法,并利用这个方法研究一些简单函数的单调性.

1.用导数研究函数单调性的理论依据

由函数单调性定义,以及《普通高中教材・数学(A版)》必修第一册习题3.2第9题,可以得到如下结论:

函数f(x)在区间I上单调递增,都有.

如果函数f(x)在区间I上可导,那么,由拉格朗日中值定理,必有介于x₁,x₂之间的ξ,使

如果在区间I上恒有,则,从而,故函数f(x)在区间I上单调递增.

所以,是函数f(x)在区间I上单调递增的充分条件(但不是必要条件).

同理,是函数f(x)在区间I上单调递减的充分条件(但不是必要条件).

所以，可以通过研究函数f(x)的导数的正负来判断函数的单调性.

2.通过几何直观认识函数的单调性与函数导数的正负之间的关系

高台跳水是本章一以贯之的例子．教材结合该实例,通过第84页思考栏目引导学生借助几何直观探索并了解函数的单调性与函数导数的正负之间的关系.

教学时,除需要借助几何直观让学生认识函数的单调性与导数的正负之间的关系外,还要特别重视“用导数判断函数的单调性”是充分条件而非必要条件.在高台跳水案例中,观察图5-2(1),可以得到高度函数h(t)在不同区间的单调情况,观察图5-2(2),可以得到函数的导数在相应区间的正负性,由此猜测函数的单调性与函数导数的正负有内在联系.教师切忌用自己对函数的单调性与导数关系的认识简化教学过程.

教材借助图5-2,引导学生观察函数及其导函数v(t)=-9.8t+4.8的图象,并得出以下结论:

当时,h(t)的图象上升,h随时间t的增加而增加,即h(t)单调递增.观察图5-2(2)可以发现,在区间(0,a)上,导函数.

当时,h(t)的图象下降,h随时间t的增加而减小,即h(t)单调递减.观察图5-2(2)可以发现,在区间(a,b)上,导函数.

教学中最终要解决的是为何可以通过函数的导数去研究它的单调性,所以,教材在第85页进一步设置了思考栏目，引导学生考虑由的正负来判断h(t)的单调性。

与前面的过程相反,通过对图5-2(2)及图5-2(1)的综合观察,可以发现:

当时,,函数h(t)的图象是“上升”的,函数h(t)在(0,a)上单调递增;

当时,,函数h(t)的图象是“下降”的,函数h(t)在(a,b)上单调递减.

3.归纳得出用导数研究函数单调性的一般结论

教材在第85页设置观察栏目的目的,是让学生结合一次函数、二次函数、三次函数和反比例函数的图象（几何直观)，探讨函数的单调性与函数导数的正负之间的关系,进一步感受可用函数导数的正负来判断函数的单调性.在此基础上,教材借助图5.3-3

对一般情况进行归纳总结:

如果函数y=f(x)在x=x₀处的导数值,说明函数图象在点处的切线斜率为正,那么切线是“左下右上”的上升式,函数f(x)在这点附近的图象是上升的,从而函数y=f(x)在x=x₀附近单调递增;

如果函数y=f(x)在x=x₁处的导数值,说明函数图象在点处的切线斜率为负,那么切线是“左上右下”的下降式,函数f(x)在这点附近的图象是下降的,从而函数y=f(x)在x=x₁附近单调递减.

需要注意的是,这里强调的是函数y=f(x)在某点附近的增减情况。

如果在整个区间I上恒有,那么函数y=f(x)在整个区间I上单调递增（递减），教材在此基础上归纳出用导数的正负判断函数单调性的一般结论,但没有进行严格的证明.

一方面是遵照《标准（2017年版）》的要求,

另一方面是因为学生不具备严格证明所需要的基础知识。

4.对第86页“边空'问题的说明

如果在某个区间I上恒有,那么对于区间I上任意一点x₀,函数y=f(x)的图象在点处的切线的斜率为0,从而函数图象在该点处的切线平行于x轴,在点附近几乎没有升降.由于x₀是区间I上任意一点，所以函数y=f(x)的图象在任意一点附近几乎没有升降,从而函数y=f(x)在区间I上是常数函数,即f(x)=c（c为常数).

5.关于例1的说明

例1中的3个小题都可以在求出导函数后直接得出导函数符号不变的结论,从而可以直接利用导函数的正负判断函数的单调性,并求出单调区间.

对于第（3）题,尽管在其定义域内都有,但只能说函数的单调递增区间为和,而不能说函数在上单调递增,也不能说函数在上是增函数.

教材在每个小题后面都给出函数的图象,目的是加强学生的直观想象素养,对所获得的结论提供直观支持.教学时可以让学生使用信息技术工具绘制函数的图象,用图象直观验证得到的结论.

对于例1,如果不用导数的方法,直接利用单调性的定义也可以求解,但运算过程相对麻烦,有些变形需要很多技巧,特别是判断三次多项式函数的单调性并求其单调区间时,这种方法不是一种通用的方法.教学时可以鼓励学生直接利用单调性的定义求解本题.通过与用导数判断函数单调性的方法相比较,使学生认识到导数是研究函数单调性的基本工具,其方法具有普适性、通用性.

6.关于例2的说明

例2要求学生依据导函数的正负信息分析原函数f(x)图象的特征,并画出函数f(x)图象的大致形状.

教学时,教师应引导学生由导函数的正负得到函数f(x)的单调性,由此思考并想象f(x)图象的大致特征;也可以在同一坐标系内同时画出f(x)与,的图象并进行比较,由此加深学生对用导函数研究函数单调性的理解.

7.对第87页“思考”的说明

教材安排这一“思考”,目的是启发学生从一般意义上认识函数的单调性与导函数的正负之间的关系,特别是用导数的正负判断函数单调性的充分性.在选择性必修课程中,不要求学生学习拉格朗日中值定理,所以,要让学生理解函数的单调性与导数的正负之间的关系,可以从函数单调性的定义、导数的几何意义及几何直观着手.

设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数,下面说明y=f(x)在区间(a,b)上单调递增.

我们知道，函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,等价于,f(x)在x₁与x₂之间函数的平均变化率恒为正,即,恒有

（1）式的几何意义是经过点的割线AB的斜率.

由于f(x)在区间(a,b)上处处有导数,所以函数y=f(x)的图象在区间(a,b)上处处有切线.,不妨设x₁<x₂},当x在区间上从左端点x₁变化到右端点x₂时,函数图象的切线也会随着变化.从直观上看,能找到一点,使函数y=f(x)的图象在点T处的切线与直线AB平行(图5-3).

所以,存在,使得

从而(1)式成立,所以函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增.

用同样的方法可以说明,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数为负,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

上面结论的逆命题不正确,即函数在区间(a,b)上单调递增,其导数不一定恒正,可用函数加以说明;同样,函数在区间(a,b)上单调递减,其导数不一定恒负,可用函数加以说明.

8.关于例3的说明

例3以三次多项式函数为例,介绍用导数求函数单调区间的一般步骤.教学时可以让学生先由单调性的定义思考函数单调区间的求法,在得出

后,很难发现在哪些区间内正负性保持不变,这就突显了用导数求函数单调区间的重要性.

在完成例3后,应引导学生结合例3的解答过程归纳总结出用导数判断函数单调性的一般步骤,并联系例1说明导函数无零点时该如何处理.用例1中的第(3)题,说明定义域内函数f(x)存在间断点,以及导函数无零点时如何完成第3步中的列表.

9.对第88页“探究'的说明

导函数的正负反映了函数的增减情况,但是否可以用导数判断函数增减的快慢情况呢?也就是说,从导数的角度如何解释函数变化的快慢情况?这个“探究”就是为回答这个问题而设置的。

教学时,不仅可以探究对数函数y=lnx与貝函数在区间上增长的快慢情况，还可以利用信息技术工具多画一些不同幂函数的图象,并结合其导数值的变化情况进行分析,得出以下结论:“如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较'陡峭'(向上或向下)；反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较'平缓’”因此,导数的正负性反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度。 

教师还可以让学生反思必修第一册中借助函数值和函数图象直观比较幂函数、指数函数和对数函数增长差异的方法的不足,进而启发学生利用导数精确定量地比较这三类函数增长速度的差异,进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长这些变化的含义,确认指数函数增长得最快,幂函数增长的速度次之,对数函数增长得最慢.事实上,由可以发现，对于任意的,总会存在一个x₀,当x>x₀时,恒有,由此可得这三类函数增长的快慢情况.通过上述过程,学生可以进一步体会导数的力量—导数精确定量地刻画函数的变化规律.

10.关于例4的说明

例4是前述“探究”结论在比较不同类型的函数增长速度的差异中的一个应用.教学时不仅要利用导数对函数增长的快慢情况进行判断与刻画,还要结合函数的图象与导数的几何意义加深对函数增长快慢的理解.同时,还可以结合函数的图象引导学生得出以下结论:

(1)当x>0时,;

(2)在|x-1|很小时,.

结论（1）是今后证明不等式问题时常常用到的不等式;

结论（2）可以帮助解决一些近似计算问题,如