【原】11.4：函数级数

❝ 函数级数
❞

1.确定下列函数级数的收敛域，包括绝对收敛域和条件收敛域.

解：

(1):显然对任意的单调递减趋于0，当时，极限不为0，所以发散；综上绝对收敛，$0<x\leq 1$条件收敛<="" p="">

(2):时，,绝对收敛，当时，条件收敛

(3):当, ,绝对收敛

时，绝对收敛，反之发散，,条件收敛,绝对收敛

(4):,当时，绝对收敛 ，反之发散

(5):时都绝对收敛

(6):当极限不为0，发散，反之均绝对收敛

---

2. 证明：如果狄利克雷级数(其中是给定的数列)在某点收敛，则它对所有也收敛，且在区间上一致收敛.

证明：

注意到部分和有界(一致收敛)，单调递减趋于0，故一致收敛

所以则它对所有也收敛，且在区间上一致收敛.

---

3. 证明下列函数级数在指定的区域里一致收敛：

表示任意正数，表示充分小的正数.

解：

大部分都是用判别法

(1):

(2):

(3):

(4):

(5):

(6):

(7):$ne^{-nx}

(8):求导在,取得最大值

(9):用斯特林公式易证一致收敛

(11),(12),(13),(14)都用判别法，即可知分子一致有界，分母单调递减趋于0，故一直收敛

---

5. 
   

已知数收敛.证明：级数在区间上一致收敛.

证明：

对任意，一致收敛，单调且一致有界，故一致收敛，综上，对任意的,级数在区间上一致收敛

---

6. 
   

设且级数收敛.证明：级数在不包含的任意有界闭区间上一致收敛.

证明：

注意到，对任意的,,所以他们具有相同的敛散性，即一致收敛

---

7. 
   

证明级数在上一致收敛.

proof：

对任意的

单调递减趋于0(一致收敛于0，Dini定理),一致有界，根据判别法可知，一致收敛

---

8. 
   

确定下列函数级数的收敛域，并讨论和函数的连续性：

proof:

(1):收敛域,连续性连续

(2):收敛域:R;在内壁一致收敛，在连续

(3):收敛域：R；在内壁一致收敛，在连续\

(4):收敛域：R；在内壁一致收敛，在连续\

(5):收敛域：R ;,在一致收敛，在连续\

(6):收敛域：,在一致收敛，在：连续\

(7):绝对收敛，所以任意区间都一致收敛，也每一个函数也连续，所以都连续\

(8):用泰勒级数，等价于后部分始终绝对收敛，前者交错级数也收敛，任意闭区间一致收敛，在R上连续\

(9):等比级数求和为,易知收敛域R；内壁一致收敛,连续\

(10):继续研究ing

❝

还剩几题

❞