【原】线性方程的级数解（1）——幂级数回顾

小温爱怡宝 2023-11-15 发布于江西

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线性方程的级数解

6.1 幂级数回顾
6.2 关于普通点的解
6.3 关于奇异点的解
6.4 特殊函数

到目前为止，在我们对二阶（或更高阶）线性微分方程的研究中，我们主要解决了具有常系数的方程。第4.7节中的Cauchy-Euler方程是唯一的例外。在应用中，具有变系数的线性高阶方程与具有常系数的微分方程一样重要，甚至更重要。正如第4.7节中指出的那样，即使是一个简单的线性二阶方程也没有初等函数的解。但这并不意味着我们不能找到的两个线性无关解；我们是可以找到的。在第6.2节和第6.4节中，我们将看到这个方程的解是由无穷级数定义的函数。

幂级数回顾

引言

在第4.3节中，我们看到解具有常系数的齐次线性微分方程本质上是一个代数问题。通过找到辅助方程的根，我们可以将微分方程的一般解写成元函数和的线性组合。但正如在第4.7节的引言中指出的那样，大多数具有变系数的线性高阶微分方程不能用初等函数的形式解决。对于这种类型的方程，通常的做法是假设解的形式为无穷级数，并按照类似于待定系数法（第4.4节）的方法进行推导。在第6.2节中，我们考虑具有变系数的线性二阶微分方程，其解可以表示为幂级数的形式，因此在本章开始之前，回顾一下这个主题是合适的。

幂级数

从微积分中我们知道，以为中心的幂级数是形如

的无穷级数。

求和的索引不必从开始

这样的级数也被称为以为中心的幂级数。例如，幂级数以为中心。在接下来的部分中，我们主要关注以为变量的幂级数，换句话说，以为中心的幂级数。例如，

是一个以为变量的幂级数。

重要事实

以下项目列出了关于幂级数的一些重要事实。

收敛性: 对于给定的值，如果其部分和序列收敛，即

存在，则幂级数在该值处收敛。如果在处极限不存在，则该级数被称为发散的.

收敛区间: 每个幂级数都有一个收敛区间。收敛区间是幂级数收敛的所有实数的集合。收敛区间的中心是级数的中心.
收敛半径: 幂级数的收敛区间的半径被称为其收敛半径。如果，则幂级数在时收敛，在时发散。如果级数仅在其中心处收敛，则。如果级数对所有都收敛，则我们写作。回想一下，绝对值不等式等价于同时不等式。幂级数在该区间的端点和处可能收敛也可能发散。
绝对收敛: 在其收敛区间的内部，幂级数绝对收敛。换句话说，如果在收敛区间内且不是区间的端点，则绝对值级数

收敛.参见图

级数在端点处可能收敛或发散;

绝对收敛在收敛区间内，发散在此区间外

比值判别法

幂级数的收敛性通常可以通过比值判别法来确定。假设对于幂级数，对所有的都有，并且满足以下条件：

如果，级数绝对收敛；如果，级数发散；如果，则判别不出。比值判别法在端点处总是判别不出。

例1 收敛区间

求级数的收敛区间和收敛半径。解: 通过比值判别法得到

当或或时，级数绝对收敛。这个不等式定义了收敛的开区间。当时，级数发散，即或。在收敛区间的左端点处，常数级数通过交错级数判别法收敛。在右端点处，级数是发散的调和级数。该级数的收敛区间是，收敛半径为.

幂级数定义了一个函数，即，其中定义域是级数的收敛区间。如果收敛半径或，那么在区间或上是连续的、可导的和可积的。此外，和可以通过逐项求导和积分得到。在端点处的收敛性可能会因为求导而丢失，或者通过积分而获得。如果

是关于的幂级数，那么它的前两个导数分别为和。注意到第一个导数的第一项和第二个导数的前两项都是零。我们省略这些零项并写成

请确保你理解了（1）中给出的两个结果；特别要注意每个级数的求和索引从哪里开始。这些结果很重要，并将在下一节的所有示例中使用。

恒等性质如果对于某个开区间中的所有数，有，那么对于所有，有。
在某点解析函数在点处被称为在该点解析，如果它可以用的幂级数表示，并且收敛半径可以是正数或无穷大。在微积分中，可以看到无限可导的函数，如等，可以用泰勒级数

或者用麦克劳林级数

你可能还记得以下一些麦克劳林级数的表示形式。这些结果可以用来获得其他函数的幂级数表示。例如，如果我们想要找到的麦克劳林级数表示，我们只需要在的麦克劳林级数中将替换为：

类似地，要获得以为中心的的泰勒级数表示，我们将替换为在的麦克劳林级数中：

的幂级数表示的收敛区间与相同，即。但是的泰勒级数的收敛区间现在是；这个区间是将向右平移了1个单位。

也可以用比值检验来验证收敛区间为.

幂级数的运算: 幂级数可以通过加法、乘法和除法进行组合。幂级数的运算过程类似于两个多项式的加法、乘法和除法的方式 - 即我们将相同幂次的系数相加，使用分配律和合并同类项，并进行长除法运算。

例2 幂级数的乘法

找到的幂级数表示。

解法我们使用和的幂级数：

由于和的幂级数都在收敛，乘积级数也在相同的区间收敛。使用计算机代数系统可以轻松解决涉及幂级数的乘法或除法问题。

移动求和索引

对于本章的剩下三个部分，熟练地将两个或多个幂级数的求和表达式简化为一个带有单个的表达式非常重要。正如下一个例子所示，将两个或多个求和合并为一个求和通常需要重新索引，即求和索引的移动。

例3 幂级数的加法

将

写成一个幂级数。

解: 为了将两个给定的求和表达式相加，需要保证求和的索引从相同的数开始，并且每个求和中的的幂次要"同步"，也就是说，如果一个求和以的一次幂开始，那么另一个求和也应该以相同的幂次开始。注意，在给定的问题中，第一个求和以开始，而第二个求和以开始。通过将第一个求和的第一项写在求和符号外面，

我们可以看到右边的两个求和都以相同的的幂次开始，即。现在为了得到相同的求和索引，我们受到了的指数的启发；我们让第一个求和中的等于第二个求和中的。对于，在中我们得到，对于，在中我们得到，因此等式 (3) 的右边变为

记住，求和索引是一个"虚拟"变量；在一个情况下，，在另一个情况下，，这个事实不应该引起混淆，只要记住求和索引的值是重要的。在两种情况下，当取值为时，取相同的连续值，对于，当取值为时，取相同的连续值。现在我们可以逐项地将等式 (4) 中的级数相加：

如果你对等式 (5) 中的结果还不完全确信，那么可以在等式两边写出几项进行验证。

本节的重点是提醒你关于幂级数的重要事实，以便在下一节中使用幂级数来找到线性二阶微分方程的解时感到自如。在本节的最后一个例子中，我们将许多刚刚讨论的概念联系在一起；它还预示了将在第6.2节中使用的方法。为了说明，我们故意通过解一个线性一阶方程来保持例子的简单性。此外，暂时忽略你已经知道如何通过第2.3节中的积分因子法来解给定的方程这一事实。