【原】13.1：函数的傅里叶级数

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习题13.1

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1.求下列2周期函数的傅里叶级数：

解答.

(1):注意到是奇函数，所以：,

对进行讨论便知，当且仅当时，,,所以：

(3):注意到：为偶函数，所以,

(5):注意到：,所以：

(7):

(9):注意到为偶函数，所以

注意到(书本结论)

(10):注意到，只需将换位即可

(11):注意到：

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2. 
   

设是周期函数，在上绝对可积，它的傅里叶级数为

证明：和的傅里叶级数分别为：

其中，根据这种思想的推广求以下函数的傅里叶级数：

证明：

只对一证明，二同理：

证毕

(1)注意到是奇函数，所以有

所以

(2):注意到是偶函数。所以

结果自己写吧，注意下边都是特殊的

(3):注意到，为奇函数，所以有

(4):在1的基础上进行运算

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3. 证明：

应用这些公式求下列函数的傅里叶级数：

先对题目所给不等式进行证明：注意到是关于的式子，所以可以用数学归纳法不妨假设对成立，现证明对成立

再证当成立时，对成立

solution:

(1),(2)直接用二倍角公式加积化和差即可

(3):

然后直接代换即得答案


(4):

然后直接代换即得答案

(5):

然后直接代换即得答案

(6):

然后直接代换即得答案

4.设是周期函数，在上绝对可积，证明：

(1)如果，则

(2)如果，则

(3)如果的图像以点和为对称中心，则且

(4)如果的图像以点为对称中心，并以和为对称轴，则且

(5)如果在上单调递减且有界，则

(6)如果在上单调递增且有界，则\

(1):

同理\

(2):

同理\

(3):不难得出：是奇函数，所以；,由上两题可知

(4):不难得出：是奇函数，所以；，由上两题可知

(5):

(6):


回到第五题，同理

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5. 已知函数的傅里叶级数为,求下列函数的傅里叶级数：

proof:

(1):

(2): 由(1)作为基础，不难得出(2),(3)的答案

(3):

(4)

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6.已知对定义在上并在任意有界闭区间上都黎曼可积的函数f,g和h有

其中和为任意有界闭区间。由给定的条件求一下函数的傅里叶级数：

(1),其中是周期函数，在上黎曼可积，其傅里叶系数已知为

(2),其中都是周期函数，在上黎曼可积，它们的傅里叶级数已知，分别为和

proof:

(1):

(2):


同理：

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7.设a是一非零实数，是方程的全部正根按照从小到大的顺序排列组成的数列。证明：函数系是区间上的一个正交系，即

 proof:

即证：

即证：

化简为：

继续化简即证：

而这是显然的

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