我要点名表扬一下!这个楷体我很喜欢,以后就是这个排版了,不准反对!!!2.5 商群和正规子群参考文献:
从下一次开始我们又要引入英文书的内容请做好准备哟! 上一节中我们已经可以看到,当建立了陪集的概念之后,我们就可以建立一种等价关系:设是一个群,: 即我们通过的右陪集建立了一种等价关系,现在我们想要在这种等价关系下建立的商集中定义合理(well-defined)的运算,使之成为一个群,我们事先给商集建立的群起个名字-商群. 一种自然的定义方法就是: 注意到这种定义的二元运算在某些程度上以来于原来群的结构,因为右边的是原来群中的二元运算.首先我们需要看看怎样定义才能是是well-defined,即我们定义的运算和代表元的选取是无关的. ❝ 分析:设,即:,所以: 又因为: 若:,那么有:,所以: 由于上述中的没有任何特异性,所以应该对任意的都有上述命题成立.又因为对任意的,自然两边取逆也是对的,所以:,那么我们就可以得到:.同样我们逆回去推也是正确的. 因此,我们得到一个重要的结论:上述定义与代表元的选取无关当且仅当.下边我们来验证在这样的定义下,是否成群:
下边我们正式给出正规子群的定义: ❝ 很自然的我们就会问怎样判定一个子群是正规子群? ❝ 证明: (1):因为是正规子群所以:. (2) 因为:,所以.将的位置左乘,右乘就可以得到.所以. (3)显然,左乘即可. 下边我们也正式给出我们开篇就提出的商群的定义: ❝ 点评:正规子群的重要性在于可以利用它定义商集,使其成为一个群.而这是一般的陪集做不到的,因为如果不是正规子群那么它定义的运算就不是一个合理运算. ❝ 证明:因为不是正规子群,所以存在使,;又因为:,现考虑:和但否则: 这与前提矛盾,故命题得证. Music Time : 水星记!!!啊啊啊!!!我为什么才发现? |
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