【原】正项级数收敛行为大赏(建议收藏整理）

数列极限与级数初步

正项级数收敛行为大赏

这个一直想做的，一直到今天才完成，真不容易啊！！！！

今天睡觉睡到了自然醒，羞愧！模论，模论，模论！！！最近公众号没有好玩的事情了，都是干货了 ，哈哈！

首先我们必须介绍三个最基本的，他们是我们建立其他判别法的基础！

[比较判别法1]设 和 都是正项级数, 且存在正整数 使对所有 的项都成立

则有下列结论:

1. 如果级数 收敛, 则级数 也收敛;
2. 如果级数 发散, 则级数 也发散.

证明：例行公事，略.

[比较判别法2]设 和 都是正项级数, 其中 , , 且存在 使成立

则有下列结论:

1. 如果级数 收敛, 且 , 则级数 也收敛;
2. 如果级数 发散, 且 , 则级数 也发散.

证明：都是再比收敛速度，当极限为()时,他们的收敛速度是一个阶的所以敛散性相同，特殊情况特殊考虑，不会证明的是应该好好看书了！

[比较判别法3]设 和 都是正项级数, 其中 , , 且存在正整数 使对所有 的项都成立

则有下列结论:

1. 如果级数 收敛, 则级数 也收敛;
2. 如果级数 发散, 则级数 也发散.

这个定理是值得证明一下的，and后边高级的判别法都依靠它！

证明：根据题意有当时可以得到：

所以我们可以得到：

所以如果收敛那么收敛，(2)同理.

[柯西根值判别法]设 是正项级数, 且存在 使成立

则有下列结论：

1. 如果 , 则级数收敛;
2. 如果 , 则级数发散.

这个是值得证明的，而且复变函数中还会遇到，为了那个地方省点事我就在这里证了！

(1):根据上极限的定义，我们可以找到使得 当充分大以后,根据比较判别法1即可得证！

(2):这个要特殊点，因为不是极限而是上极限！注意了！

我们存在子列使得。因此存在使得当充分大以后：

故通项极限不为0，故发散.

[达朗贝尔判别法]设 是正项级数, 其中 , 且存在 使成立 则有下列结论:

1. 如果 , 则级数收敛;
2. 如果 , 则级数发散.

这个是极限证明方法同柯西判别法的1.证明从略.(和几何级数比较)

[Rabbe判别法]设 .

1. 如果存在 , 使得当 时,有

那么级数 收敛. 2. 如果对充分大的 ,有

那么级数 发散.

从该判别法开始就属于比较理论性的了，可能在平时的时候不怎么用！取,因为：

所以当充分大时

所以：

所以：

因为是收敛的，因此根据判别法3可知，级数是收敛的.

至于第二个直接：

所以根据判别法3可得级数发散.({调和函数比较})

[Gauss判别法]设正数列 满足条件

那么, 当 时, 级数 收敛; 当 时, 级数 发散.

---

首先我们证明一件事情：

所以有：

取,所以当充分大有：

充分大时有：

又因为当时有收敛，所以根据判别法3可知级数收敛，同样可以得到对应情况级数发散.{和比较}

[Bertrand判别法]正项级数,如果：

极限大于1则级数收敛，若极限小于1则级数发散.({和级数比较})

---

这个定理我就不证明了，模仿前边两个就行.

下边我们可以将以上所有的判别法都用一个定理表示出来：

[Kummer判别法]设 为 正项 级数, 且 发散, 记, 则

(1) 时级数 收敛;

(2) 时级数 发散.

先证明比较简单的第二条，因为,所以当充分大时，

即：

因此由判别法3可以得到级数的敛散性；

第一条：因为，所以当充分大时即有 而正项级数 的部分和 有上界 , 故级数 收敛, 又因为：

当充分大时，

由比较判别法得 收敛.

下边给出一些关于单调数列的级数判别法

[柯西凝聚列判别法]如果是单调递减的正项数列，那么和有相同的敛散性.

该证明证明方法和调和级数以及黎曼级数的证明方法类似！且可以换位其他大于2的整数

首先：

注意到每一个括号里都有个.对每个括号里的大小估计：

所以可以得到：对部分和我们有如下估计：

于是根据比较判别法就出来他们具有相同的敛散性！

[萨波果夫判别法]设 是一个单调递增的有界正数列. 证明:级数 收敛;

该定理就留作习题吧！

下边的判别法都是和相应的反常积分建立联系：

[柯西-麦克劳林积分判别法]设 是正项级数, 其通项 , 其中 是定义在区间 上的单调递减函数. 则级数  收敛的充 要条件是无穷积分 收敛.

该定理比较基础，请大家自行尝试证明，或者翻阅书籍-应该任何一本微积分的书上都会有吧！

Ermakov判别法:设 是 上的正值单减函数， 且 , 则当 时, 收敛; 当 时, 发散.

先证,取

由于改变前项不改变级数的敛散性因此我们不妨直接设从第一项开始就有.

我们取如下数列：

那么我们就有：

对第一项换元即可得：

递推下去便有：

两边求和，注意到右边是个公比小于1的几何级数求和即可，根据判别法1即得证.

再证2，同样的道理，不过取,也有同样的式子，我们便有右侧趋于无穷大，于是得证！

思考：如何做推广？

[Abel-Dini定理]设正项级数 发散, , 则 时，级数 收敛; 而 时, 级数 发散.

（Dini）设正项级数 收玫, , 则 时，级数 收敛; 而 时, 级数 发散.

由于上下两个完全采用一样的结果，于是我们只证明第一个第二个留做习题！

注意到：

因此两边求和根据比较判别法即可得证！

对于的情况我们只用证明等于1，其他便可以用比较判别法得证！

对于,时，利用柯西准则考虑：

即存在 , 故 发散.

由此我们罗列了菲砖上所有的正项级数判别法以及我积累的！当然某些菲砖的某些证明方法可能有些老了，我换了新的！