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全体自然数的和是-1/12,真的吗?

2014-01-17  木立


[本文作者刘大可先生,转载请注明来源;最好是在Pc上浏览这篇日志]

        最近有一个很有趣的视频,讲述了这样一件数学趣事:全体自然数的和是-1/12。

                            

这就是那个视频

        虽然果壳知乎上都已经有了问答,但是数学语言过于晦涩,不利于理解,所以我自己写了一份更简洁的日志作为阐述,不过尽量保证了严谨。

        首先说视频,他是这么证明的:

        设

                                                                  

        这个东西等于多少呢?很显然,这要看你在什么地方停下来了,如果你停在第奇数个1上,结果就是1;如果停在偶数个1上,那结果就是0。既然这样的话,那就平均一下好了,它等于1/2。看到这里,你显然会觉得这实在荒唐愚蠢,但是更“荒唐”的东西还在后面,但新奇的东西也在后面,你最好还是继续看下去。

        好,有了S1=1/2,他又令

        那么取两个S2错开一位相加,即

                                                           

        则有2S2=S1=1/2,,也就是S2=1/4 虽然这让人很不服气,但是他接着计算

                               

        既然S2=1/4,那么我们大功告成了,S=-1/12 ——全体自然数的和是 -1/12 !

        看到这里的时候,我想几乎所有人都和我一样觉得这实在是牵强附会荒唐可笑,但视频中一再声称这种算法的意义,所以我翻墙出去做了个简单的研究,得到了这样的结论:我们确实可以对全体自然数求和得到 -1/12 ,但这个和并非我们做加法得到的代数和,而是发散级数和—— 这个 -1/12 根本就不“ 加 ” 出来的。于是,下面就是我对这个问题的解释,虽然有一些公式,但是都极其简单,你可以轻松阅读不费脑子。

        要弄明白这个问题,我们首先要知道什么是“ 级数”以及 “ 发散级数” ,而这是一个非常简单的问题。

        随便找一个数列,比如等差数列 an=n ,也就是1 、2、3 、4 、5、6 ……

        把数列中的每个元素都用加号连接起来,就是一个级数, 其实就是求总和。对于上面的an,它的级数就是

                                                     

        其中,级数的前n项的和被称作部分和,记作Sn(其实就是“数列的前n项和”,高考复习翻来覆去做过的那个东西)。
        那么只要上过高中就能意识到,随着n趋于无穷,级数的部分和Sn有可能趋近于某一个值,即有极限,比如级数1+1/2+1/4+1/8……,它的部分和就会不断趋近于2。这样的级数称为收敛级数这个部分和的极限就是收敛级数的和
        级数的部分和Sn也可能不趋近于某一值,即无极限。比如1+2+3+4+……,越加越大趋于无穷;又比如1-1+1-1+……,部分和一会儿是1一会儿是0,永远不会固定。只要级数的部分和不是越来越接近某一个定值,就都是发散级数
        事情到这里,都是高中数学就学过的内容。很明显的,在这样的背景下,一个发散级数的和没有意义,但是在应用数学中,尤其是物理学的数学应用中,常常被迫需要计算发散级数的和。于是,数学家们发明了很多种算法,在保证收敛级数的和不变的前提下,又让发散级数确实能算出一个东西来,这就是发散级数和,也就是视频里计算出来的那个东西。
        但是要注意,视频里加来加去的计算只是发现了发散级数的和,但并不能给出良性的定义,也就不是严格意义上的发散级数求和,所以千万不要觉得数学家和物理学家是在胡闹,更不要对科学的严谨产生怀疑。
        那么,如何计算发散级数和呢?
        事实上,发散级数和有许多种算法,这些方法强度不同,但结果一致,这里先捡一个最简单也最弱的“切萨罗求和”。

恩纳斯托·切萨罗(Ernesto Cesàro,1859-1906)

        切萨罗求和(Cesàro summation)是意大利数学家恩纳斯托·切萨罗(Ernesto Cesàro)发明的发散级数求和法。对于一个发散级数 ,对它的部分和数列Sn求前n项的平均值,即令

        如果tn有极限,那么这个极限就是发散级数的和,称为切萨罗和。不难体会到,切萨罗和本质上是在求数学期望,视频里辅助用的级数1-1+1-1+……=1/2那个“平均一下”就是这么来的。

        当n无穷增大的时候,分子上的1只有n的一半那么多,所以它显然是1/2。

        这个乍看怪异的级数和首先由意大利数学家路易吉·格兰迪(Luigi Guido Grandi)于1703年发现,因此被称为格兰迪级数,当时被当作一个佯谬。后来那个著名流体力学奠基者,荷兰数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli),以及瑞士的大数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)都对它做过研究,一直都是争议的焦点。直到19世纪才由切萨罗等人提出了这样的良好定义。

                                                     

路易吉·格兰迪(Luigi Guido Grandi,1761-1742)

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1718–1781)


丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782)

        而到了量子物理时代,格兰迪级数及其衍生级数意外的变得有用——这或许让你联想起薛定谔的猫,要么是死(0)要么是活(1),那它就是半死不活(1/2)。但它们的关系显然不是这么幼稚简单,它被用来研究量子化的费米子场费米子包括组成实体万物的基本粒子,比如电子、质子、中子,以及中微子这样极其重要的基本粒子),它们同时具有正的和负的本征值。另外在玻色子比如光子)的研究中,格兰迪级数也有戏份,比如揭示宇宙中“真空不空”卡西米尔效应

        而格兰迪级数最重要的衍生级数,就是视频里的另一个辅助用的级数:

                                                                    

        它最早于18世纪中期由欧拉发现(又是他,而且当时他已经瞎了)。视频里发现这个级数和的时候错开了一位,但实际上错开多少位结果都一样,例如错开两位:

                                                     

        当然,欧拉这样的数学大师是用了更复杂的方法才发现了它,并被当作另一个佯谬提出。这个佯谬直到19世纪80年代初才由刚才的恩那斯托·切萨罗等人研究出了定义良好的计算方法,但是,这个级数不能直接用上面的切萨罗求和计算,因为tn仍然没有极限,需要做一些复杂的扩展,这里就不加说明了,或者采用下面灰字部分阿贝尔求和也能轻易算出——如果你不想看,不看也可以。

        阿贝尔求和(Abel summation)来自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔(Niels Henrik Abel)在幂级数研究上的总要结果阿贝尔定理(不要介意这个定理是干什么用的)。

        如果|x|<1,且幂级数(也就是级数中的每一项都有一个指数)

        收敛,那么

        就是级数

        阿贝尔和

        虽然看上去比较玄,但明白了其中的意思就是“比1小但无限接近于1”,就能明白就是一个无限接近1的数,整个算法也就不难明白了。

       下面再给出一种更简单,同时也更巧妙的算法

                

        看明白了吗?把两个格兰迪级数“相乘”(实际上是一种被称为柯西乘积数列卷积,但是这两个数列的数字实在简单,恰好与直接乘法结果一致),可以用一个棋盘格子表示其结果中的每一项,黑色表示1,红色表示-1,那么斜着数一数格子数,就可以数出1个的、2个的、3个的、4个的……,也就是1-2+3-4+……,所以

        有没有觉得很有趣?

        现在回到最初的问题上来,“全体自然数的和是-1/12?

        是一个发散得非常厉害的级数,不论切萨罗求和还是阿贝尔求和都强度不够,对它无能为力。真正给出这个发散级数的良性定义的计算方法的,是印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努詹(Srinivasa Ramanujan)给出的拉马努詹求和。但这个求和非常复杂:

        若函数f(x)在x=1处不发散,那么令

        C(0)就是级数的拉马努詹和了……好吧,恐怕没有足够数学基础的人是无法看懂了,所以我并不打算在这里讲述——能看懂的人不需要我这样的水平来讲;看不懂的人我这样的水平也讲不了。不过可以简单介绍一下拉马努詹这个人,因为他是一个传奇的数学神才——天才只是一个更加优秀的常人,但神才是一个超出常人理解的存在,一个开了外挂的存在。他从没有接受过高等数学教育,却仅凭直觉就能直接发现惊人的数学公式,证明他正确工作就甩给天才们了——于是留下了一连串的拉马努詹猜想,而绝大多数都被证明正确。

斯里尼瓦瑟·拉马努詹(Srinivasa Ramanujan,1887-1920)       

        他总能用直觉和洞察力给出不可思议的数学公式,比如他发现:

        又如他重病时,他在剑桥大学的导师哈代前去探望,哈代说:“我乘计程车来,车牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。” 拉马努詹答道:“不,那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。”(即1729是1和12的立方和,也是9和10的立方和,后来这类数称为的士数。)说完不久,拉马努詹就病死了……尴尬

        后来哈代这样评价他:

        “他的知识的缺陷和他的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的人……直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家,他自己发现了ζ 函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项;但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念……”

        拉马努金的传奇故事还有很多,这里点到为止,有兴趣的同学可以自行查阅。

        除了拉马努詹求和,全体自然数组成的发散级数还可以用黎曼ζ 函数计算,这里给出维基百科的页面,如果上过大学数学,应该能获得感性认识。

        好,这就是日志的结尾了,重申开头部分提过的那句话:全体自然数之和等于-1/12并不是加法游戏搞出来的代数和而是将其作为发散级数,经过严谨的定义计算获得的发散级数和,只有声明它是切萨罗和、阿贝尔和、拉马努詹和或者任何级数和才有意义。而这个级数和同样在物理学中有重要应用,特别是在当代物理的量子论和弦论当中。

        另外,还需谨记:数学和科学永远严谨,一丝不苟,如果你发现其中有看似荒唐或者怪异的结论——请先跳出自己常识认知的藩篱,了解其中的深意再做评价。举个最常见的例子,陈景润证明哥德巴赫猜想时得出了“任何充分大的偶数都是两个自然数的和,一个质因数不超过1个(即质数),另一个的质因数不超2个”,简称“1+2”,如果一听到这个简称就跑出去说“陈景润证明了1+2=3”,并且藉此说“到现在数学都没证明1+1=2”,那就真是太可笑了——我初三的数学老师就是这么一个家伙,我很讨厌他,因为他欺负我。

        另外,本人非数学专业,欢迎指正。

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