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答：全体自然数之和等于-1/12，是特殊意义下求和的数学问题，和量子力学间的联系目前科学家还没有彻底弄清楚，有点类似量子场论中的重整化问题。 在看推导过程之前，需要我们忘记一般意义的无穷级数求和规则： 初等证明过程： 令S=1+2+3+4+5+6+……； S1=1-1+1-1+1-1+……； 1-S1=1-1+1-1+1-1+……=S1； 于是S1=1/2； 再令S2=1-2+3-4+5-6+7-……； 2S2=（1-2+3-4+5-6+7-……）+（0+1-2+3-4+5-6+7-……）； =1-1+1-1+1-1+……=S1； 于是S2=S1/2=1/4； S-S2=（1+2+3+4+5+6+……）-（1-2+3-4+5-6+7-……） =0+4+0+8+0+12+0+……=4（1+2+3+4+5+6+……）=4S 于是S=（-1/3）S2=-1/12； 既是1+2+3+4+5+6+……=-1/12； 该推导过程看似犯了很多无穷级数求和的忌讳，但这一结果在某些地方却显示出物理意义；该结果最早由大数学家欧拉发现，并记录在他的手稿当中。 到了19世纪，数学家黎曼提出大名鼎鼎的黎曼函数，而“全体自然数之和等于-1/12”正是黎曼函数自变量取-1的结果。 二十世纪初，印度数学家拉马努金定义“拉马努金和”，根据“拉马努金和”也可以得出“全体自然数之和等于-1/12”的结论。 在二十世纪末期，弦理论物理学家发现，“全体自然数之和等于-1/12”在研究光子质量为零时起到了关键作用，这是首次发现这一数学结果存在物理意义，但是更深层的解释还未知。 有点类似于量子场论中重整化的技巧一样，重整化指的是某些量子场论问题的发散结果，剔除无穷大之后留下来的有限值，就是正确的结果。 重整化一度被科学家们认为是“丑陋的理论”，就像把垃圾扫到地毯下边，表面干净无比，实际暗藏缺陷。 所以对于“全体自然数之和等于-1/12”和量子力学联系的结果，目前我们外行人只能持观望态度，没人说得清其中的本质原因。 艾伯菌认为：发散级数在某些地方存在物理意义，或许暗示着每一个发散级数，都存在一个特征值，这个特征值在某些场合显现出物理意义，倘若我们能制定一套规则，给每个发散级数赋予特征值，形成一套自洽的数学系统的话，那将是非常美妙的事。 我再举一个例子，文章开头我们推导出： 无穷级数S1=1-1+1-1+1-1+……=1/2； 这一结果，可以根据“阿贝尔和”或者“拉马努金和”导出，其中的物理意义也可以从量子力学中找到——薛定谔的猫。 薛定谔的猫：猫活下来为“1”，猫死了为“0”，我们不打开盒子前，猫处于“生”和“死”的叠加态，就好似“1”和“-1”的无限叠加，我们不知道级数在哪截断，这就是不打开盒子前的叠加态，根据我们的求和结果是1/2，物理意义即是生和死的叠加；一旦我们打开盒子，就随机截断了无穷级数，级数前面的求和要么收敛于“1”，要么收敛于“0”，对应的就是波函数坍塌。 当然，这一结果只是艾伯菌脑洞大开的想法而已，或许经不起推敲，只希望给大家提供一种理解思路。 |
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