 基本不等式到底怎么复习？为什么我的老师还没怎么复习，就直接跳过了？ 为什么老师说基本不等式的应用很容易？是真的容易吗？ 前几天就有同学说，老师把“基本不等式”好像直接跳过了，原因据说是因为比较容易。 嗯，就是说很容易…… 我听了，就只能表示“呵呵”了。 基本不等式，真的很容易的么？ 反正我所了解的，很多同学在遇到要用它的时候，总觉得不是那么顺利的。 可是，高考和模考，却又经常出现它的影子。 所以今天，特别想说说我的“基本不等式”课堂。 希望有机会阅读此文的同学能有所受益，更希望阅读此文的专家或同行者，能谈谈自己的看法，不吝指教。 还是照例，先看下课堂的基本流程吧。    其实，基本不等式的出处是极简单的，就是平方数具备的非负性嘛。 也就是初中教材所说的： 可是，能用代数的方法把它抽象出来，作为一个重要结论，并成为以后求函数最值和证明不等式的重要依据，却是非常的了不起。 基本不等式可以描述为： 两个正实数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 第一张PPT的主要目的，不仅是对基本不等式知识点本身的复习，同时通过从各个不同的角度对不等式作全面的介绍，以期让学生对基本不等式的认识再提高。 公式作用：求最值(注意最值方向) 积定和小、和定积大； 使用条件：一正、二定、三相等； 常用技巧：配凑法、常数替换法、 换元法、消元思想； 可以推广：n个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数； 两个特例： 相信你会有更好的收获的。  
这种变形，我称之为“部分因式分解”，我认为是很重要和常见的一种变形。 所以关于变式，除了最常用的消元法凑“”整式+分式“的结构之外”，我还采取了通过因式分解，直接凑定积的思路：
所以，遇到和的最小值模型，是可以优先考虑下，能否凑成积为定值的。 如果可以，方法一定最佳。 如果是求最大值，最好的当然是和定积大了。 熟悉基本不等式的人，遇到求最大值的问题，都会下意识地问一下做题的自己，能不能凑出个积定的呢？ 显然，例4和变式1，就可以很方便地去配凑了。 不过对于“变式２”，还会涉及到高次代数式的因式分解问题，要用到观察法和待定系数法哦。
哈哈，学过了导数的同学，是不是对这种思路比较惊讶了呢？ 确实，导数那么牛叉的东西，也只有在遇到更复杂的函数时，才会用它的吧？ 在这里，显然就有点，大材小用了。 凑形式，主要是从条件和结论的形式结构上着手观察的。 如果条件等式就能够凑出结论中的代数式，直接利用起来，又何乐而不为呢。 所以，上一页变式中的条件，根据新的目标，我又做了再思考。
当然，这个例６的处理，还最适合用判别式法的，但还是留作读者自己体验吧。
例7的处理，除了凑结论中的形式之外，更重要的是将方法过渡到了常数替换法。 因为常数替换，在基本不等式里也实在是太常见和重要了。 另外一个原因，便是猜想，会不会有同学采取下面的思路呢？
看看，一切过程都是那么的完美和自然，但结果却不一致了！ 过程中，貌似也没有太大的毛病的吧？ 那问题到底出在哪了呢？
嗯，原来在一个式子中，重复使用基本不等式时，取等的条件是一定要保持一致的。 看来，问题肯定是出在这儿了的。 两次使用了基本不等式，两次都对取等的条件做了限制。 谁又能保证两次取等的条件是完全一致的呢？ 所以，用基本不等式求最值，检验的步骤很重要，相当重要！ 而且如果是解答题，你还应该写出来，让别人知道你真的做过检验，而不仅仅是凑巧。 只是前面，因为自己的自信，所以都舍去了这个步骤了。 前面就用到了常替换。 确实，常数替换恐怕是我们最熟悉的，使用基本不等式的方法了。 但为了规范下常数替换的过程，我还是搞了个解法赏析。
只不过，这是个错误示例哦！ 原因还是和前面一样，一个式子中同时用了两次基本不等式。 取等条件是不是要检验一下的呢！ 其实，常数替换写起来也是非常便捷的：
除了这种可以真的替换的情形，更多的时候，可能还需要我们稍微的做一下结构上的小变形的。 所以，便有了例10及其三个变式的练习。
从结构形式上来看，是不是有一个明显的，结构上逐渐加强的过程。
特地写了两种不同的替换方式，反正我是更偏向于喜欢第二种的，总觉得它写起来会更顺手。
从上现的解题思路不难看出，最初的那个常数替换的题是最重要的，后面的题，主要的思路不就是转化为最初的样子的么。 记住典型题，理解典型的思路，并将其作为经验留存在心里，以后遇到类似的，才会游刃有余的。
你看，将分母二项式用一个字母表示后，是不是一下子，就有一种拨云见日的感觉了呢？ 以后遇到分式分母过于烦琐的时候，你也可以试着做一下这样的换元，也许突然就柳暗花明了。
看看，一样的换了元，只是这个更加直白点，直接令待求式为t了。 如果条件等式是二次式，倒是有点“判别式法”的影子。 其实，这也算是比较好的经验了：当你对要求的代数式别无他法时，可以试着进行类似的换元，将代数式变成等式，求最值问题也就自然而然地变成方程组有解的问题了。 解方程的问题，靶向性就更明确些。
这个变式题，就有人自以为聪明地这样子处理：
就问你服不服？ 可是细究下，验证了取等的条件就会发现，矛盾了…… 所以，还是换个元试试吧：
轮换对称，肯定是有很多同学听说过的。 无论是作为基本不等式的一个好朋友，还是应试的一个小技巧，我觉得都还是应该认真介绍下的。 当然要交待下什么叫对称或轮换对称式的了。 简单地说：如果交换式子中的任意两个字母，式子不变。那么这样的式子就可以称之为轮换对称式了。 就像例13中，a和b做个互换看看，无论是条件式或结论式，都没有发生任何的变化。 也就是说，题中的条件和结论对是轮换对称式。 特别地，式中只有两个字母时，可以称之为对称式的。
对于这种轮换对称式甚至对称式，求最值时有没有不一样的感觉？ 嗯，都说“特殊情况取最值”的，当然是a=b时能够取得最值的了。 有人把这种想法叫“地位等价法”，认真想想，真的是有道理的。 所以这题我就很开心地这样思考了：
为了消除学生的疑虑，我还特地做了下验证。 当然就是用最基本的方法了，甚至连基本不等式都没用：
看看，结果一样的，现在该没有问题了吧。 所以下面的例14及其变式，就很开心了。
个人认为例15的给出是非常好的，你看，很多同学根据前面的经验，就很自然地这样子做了：
可是，用常规方法验证了下，竟然发现了一个bug!
答案不一样了，但这个又显然是对的。 嗯？为什么呢？难道轮换对称式中的“地位等价法”也会失效的么？ 认真比较了下例13:
终于发现它们之间的区别： 例13中条件和结论都是齐次式， 而例15中的结论并非是齐次式。 所以，以后遇到轮换式，还是要区分清楚齐次和非齐次的，齐次轮换对称使用“地位等价法”应该没有问题，而非齐次式就未必了。 我又试着写了个题：
用地位等价法，显然结果应该为９/4. 但如果认真推演，就会发现：
结果又小了点，但显然是可以取到这个最小值的。 问题出在哪呢？当然可以归结为结论式并非是齐次式的原因了。 又很认真的查看了下前面的轮换对称，发现
也是非齐次的，但很耐心地试着正规的解了下，却发现：
结果竟然是对的。 按照齐次轮换的特征，下面的局部轮换对称式，就不难理解了。 当然，要在确定了齐次式后才能使用哦。
最后一页写了个基本不等式链。 确实，这个基本不等式链是很重要的。 不过在基本不等式中，毕竟也只是配角，而且利用它们求最值时，基本思路和基本不等式应该是相似的。 所以，只说知识点，不做详细应用上的介绍了。 |
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