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例题：（初中数学综合题）如图，已知AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧BF的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若∠BAC=30°，AB=4，求阴影部分的面积． 知识回顾 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 垂径定理推论:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）（1）证切线则需要连接OC，连接BF，证明BF∥CE，接着证明OC⊥CE即可得到结论；（2）连接OF，推出阴影部分的面积和扇形COF的面积相等，求出扇形FOC的面积，即可得到阴影部分的面积． 解：（1）连接BF，OC，（作半径证垂直） ∵AB是⊙O的直径， （直径所对的圆周角是90°） ∴∠AFB=90°，即BF⊥AD， ∵CE⊥AD， ∴BF∥CE，（平行线的判定） ∵点C为劣弧BF的中点， （平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦） ∴OC⊥BF， ∵BF∥CE， ∴OC⊥CE，（平行线的性质） ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）连接OF，CF，（出现扇形FOC） ∵OA=OC，∠BAC=30°， ∴∠BOC=∠OAC+∠OCA=60°， （三角形的外角定理） ∵点C为劣弧BF的中点， ∴弧FC＝弧BC， （等弧所对的圆心角相等） ∴∠FOC=∠BOC=60°， ∵OF=OC， （此处运用了等边三角形的判定和性质） ∴∠OCF=60°=∠BOC， ∴CF∥AB， ∴S△ACF=S△COF，（同底等高的三角形） ∴阴影部分的面积=S扇形COF， ∵AB=4， ∴FO=OC=OB=2， ∴S扇形FOC=60/360×π×2^2=2π/3， 即阴影部分的面积为2π/3. （完毕） 这道题是关于圆的综合题，具有一定难度，但仍属于应该掌握的内容，考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及扇形面积的计算等知识，解题的关键是将阴影部分的面积进行转化。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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