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例题：（初中数学综合题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AB=AD，CB=CD，延长AB、DC交于E，∠AED的平分线交BC于P，交AD于K，延长AD、BC交于F，∠BFA的平分线交CD于H，交AB于G．求证：四边形GPHK是正方形． 正方形知识回顾 正方形的定义：正方形是特殊的平行四边形之一，即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形。 正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形. 有一个角为直角的菱形是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 一组邻边相等的矩形是正方形. 分析：要证明四边形GPHK是正方形，可以先证明其是平行四边形，再想办法证明其是菱形，再证明对角线相等，按照这三步走.先根据条件证明∠AKP=∠BPK，由此推出∠FKP=∠FPK，得出FK=FP，推出FG⊥EK，PS=SK，同理可证SG=SH.由PK⊥GH可以证明四边形GPHK是菱形，再证明PK=GH即可解决问题． 请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！ 解答：（注意以下过程可以部分调整） 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EBP=∠EDK， ∵KE平分∠AED， ∴∠KED=∠KEA， ∵∠AKE=∠DEK+∠EDK，∠BPK=∠AEK+∠EBP， ∴∠AKE=∠BPK， ∴∠FKP=∠FPK，（等角的补角相等） ∴FP=FK， ∵FG平分∠PFK， ∴FG⊥PK，PS=SK， 同理可证SG=SH， （对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∴四边形GPHK是平行四边形， ∵PK⊥GH， ∴四边形GPHK是菱形， ∵AB=AD，CB=CD， ∴弧AB=弧AD，弧BC=弧CD， ∴弧ABC=弧ADC， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠A=∠A，AB=AD， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AE=AF，∠AED=∠AFB， ∵∠AEK=1/2∠AED，∠AFG=∠SFP=1/2∠AFB， ∴∠AEK=∠AFG=∠SFP， ∴△AEK≌△AFG（ASA）， ∴EK=FG，AK=AG， ∴EG=FK=FP， ∵∠ESG=∠FSP=90°，∠SEG=∠SFP， ∴△ESG≌△FSP（AAS）， ∴SG=SP， ∴PK=GH， ∴四边形GPHK是正方形． （完毕） 这道题属于综合题，考查了圆的相关知识，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形证明线段相等。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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