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例题：（初中数学几何综合题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小. 知识回顾 垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。 推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。 推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。 分析：（1）要证∠BAC=2∠ABD即证1/2∠BAC=∠ABD，由图可知，连接OA，只要推出AO平分∠BAC即可．可以利用垂径定理以及等腰三角形的性质来解决问题． （2）出现等腰三角形时，往往需要分情况讨论：①若BD=CB，则∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． 我们想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！ 解答：（1）证明：如图1，连接OA， ∵AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆， ∴弧AB=弧AC， ∴OA⊥BC，（平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦） ∴AO平分∠BAC，（等腰三角形三线合一） 即∠BAO=∠CAO， ∵OA=OB， ∴∠ABD=∠BAO， ∴∠BAC=2∠ABD． （2）解：当△BCD是等腰三角形时， ①若BD=CB，则∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=2∠ABD， ∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°， ∴8∠ABD=180°， ∴∠BCD=3∠ABD=67.5°． ②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD， ∴∠BCD=∠ABD+∠CBD=4∠ABD， ∵∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°， ∴10∠ABD=180°， ∴∠BCD=4∠ABD=72°． ③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述，∠BCD为67.5°或72°． （完毕） 这道题属于圆的综合题，考查了垂径定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。 |
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