虽然在初中数学新课程标准下,四点共圆不再做要求,但是我们在解题的过程中如果灵活的运用四点共圆的性质,可以使复杂的题目变得简单易解。况且在高中阶段,高中老师会默认你在初中已经学会了这个知识,遇到了不会再进行过多讲解,所以无论从哪方面讲,我们都应该掌握好四点共圆的性质。 数学接龙 一、圆的内接四边形的性质: 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为'四点共圆'。 1)圆内接四边形的对角互补:∠BAD+∠DCB=180°,∠ABC+∠ADC=180°; 2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠CBE=∠ADC; 3)圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍:∠AOB=2∠ACB=2∠ADB; 4)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等,即同弧所对的圆周角相等; 5)圆内接四边形对应三角形相似:△ABP∽△DCP(三个内角对应相等) 6)相交弦定理:AP×CP=BP×DP(例5) 四点共圆 而利用圆的内接四边形解题,又分为两种情形:一是直接利用圆的内接四边形的性质解题;二是构造共圆,然后再利用圆的的知识和性质解题。 二、直接利用圆的内接四边形的性质解题 例1、如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=138°,则它的一个外角∠DCE等于( ) A.69° B.42° C.48° D.38° 答案:选A (圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角) 例2、(·凉山中考)如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中,且∠C=2∠A,则BD=________. 例3、如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,则∠B+∠E=( ) 解:∵四边形ABCD与四边形ACDE是圆的两个内接四边形 ∴∠B+∠ADC = 180° ∠E+∠ACD = 180°(圆内接四边形的对角互补) ∠B+∠E+∠ADC +∠ACD = 360° 而在△ACD中,∠ADC+∠CDA+∠ACD = 180° ∴∠ADC+∠ACD = 180°-35°= 145° ∴ ∠B+∠E=360°-145°=215° 例4、(2019·台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE.若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为 . 解:∵∠ABC=64° ∴∠ADC=116° (圆内接四边形的对角互补) 又点D关于AC的对称点E在边BC上 ∴∠AEC=116° ∴∠BAE = ∠AEC -∠ABC = 116°-64°=52° 例5、ABCD为圆的内接四边形,且其对角线AC与BD相交于点P,请证明相交弦定理:AP×CP=BP×DP 证明:∵共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等 ∴AB边所对的∠BCA = ∠BDA 同理CD边所对的∠CBD = ∠CAD ∴△BCP ∽△ADP ∴AP×CP=BP×DP 三、构造共圆,然后再利用圆的的知识和性质解题 例6、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO. 求证:CD=GF 证明:作 GH⊥AB,连接 EO. ∵EF⊥AB,EG⊥CO, ∴∠EFO=∠EGO=90°, ∴G、O、F、E 四点共圆, (四边形的对角互补,那么四点共圆) 所以∠GFH=∠OEG, (共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等) 又∵∠GHF=∠EGO, ∴△GHF∽△OGE, ∵CD⊥AB,GH⊥AB, ∵GH∥CD, ∴EO/GF=GO/GH=CO/CD 又∵CO=EO, ∴CD=GF. 例7、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且∠PBA=∠PDA. 求证:∠PAB=∠PCB. 证明:作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 E,使 PE=AD=BC, ∵AD∥EP,AD∥BC. ∴四边形 AEPD 是平行四边形,四边形 PEBC 是平行四边形, ∴AE∥DP,BE∥PC, ∴∠ABP=∠ADP=∠AEP, ∴AEBP 共圆(一边所对两角相等). ∴∠BAP=∠BEP=∠BCP, ∴∠PAB=∠PCB |
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