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女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。 前文回顾： 无边的奇迹源于简单规则的无限重复。 ——本华·曼德博(Benoit Mandelbrot) 波兰数学家谢尔宾斯基（Waclaw Sierpiński，1882-1969）非常高产，在拓扑学、集合论和数论等领域都做出了杰出贡献。他的生日就很数学，生于3月14日，即"π日"，而且他的第一本著作专门研究无理数。但是，他最出名的杰作是以他的名字命名的"谢尔宾斯基三角"。如图6.3.1所示，从一个实心正三角形开始，以它3条边的中点作为新的顶点，将它分成4个较小的正三角形。挖空中央小三角形的内部。然后在剩下的3个实心正三角形上重复这个过程。接下来再对剩下的9个同样大小的更小的等边三角形重复做，直至无穷。显然，最后必然剩下一个千疮百孔的三角形镂垫图案。所有那些没有被挖掉的点组成了一个集合，它处处稀疏，像海绵一样处处有洞，但却包含有无穷多个点。虽然有无穷多个点，但这个图形的面积却是零。简单计算一下便可知道，每变换一次，整个图案的面积就变成原来的3/4，经过无穷多次变换之后，其面积必然趋近于0。 图6.3.1 谢尔宾斯基三角的分形维数也不难计算，它是自相似的，有3个不重叠的部分，每个部分都是原来的1/2。因此，谢尔宾斯基三角的分形维数 谢尔宾斯基三角的构造方式是反常的。读过前两节的朋友一定知晓，无论是科赫雪花还是二叉树，都是从一维的线段开始，反复的弯折或分叉就像是在给简单的线段添砖加瓦，最终变成无限复杂的图案。而谢尔宾斯基三角是从二维的三角形开始，一次次地挖空中心就像是在做减法。正常情况下，减的过程总是让我们倍感舒爽，因为削减多余往往意味着简洁。但意外的是，谢尔宾斯基三角居然越削越繁琐，越减越复杂，最后剩下的这个千疮百孔的图案是无限复杂的。 值得一提的是，从简单的线段开始添砖加瓦也可以得到谢尔宾斯基三角。图6.3.2中的曲线称为"谢尔宾斯基箭头曲线"，虽然它前几阶的模样和谢尔宾斯基三角天差地别，但最后竟然也殊途同归。 图6.3.2 循着这种越削减越复杂的思路，谢尔宾斯基把正三角形扩展到正方形，创造了谢尔宾斯基地毯。如图6.3.3，从实心正方形开始，把它分成9个较小的全等正方形。挖空中央的正方形内部。接下来在剩余的8个实心正方形中重复这个过程，无限次重复之后就得到了谢尔宾斯基地毯。显然，它也是自相似的，有8个不重叠的部分，每个部分都是原来的1/3。因此，谢尔宾斯基地毯的分形维数 经过无穷多次变换之后，它的面积必然也趋近于0，只是衰减得比三角形更慢些。 图6.3.3 相同的思路可以扩展到五边形、六边形，构造出非常美丽的图案，如图6.3.4。 图6.3.4 其实，谢尔宾斯基镂垫的结构有许多可能的变化，不光是多边形的边数和形状，改变挖空的位置也会让情况大不相同。 以最简单的谢尔宾斯基三角为例，它将一个正三角形分成了4个小三角形，每个小三角形边长都是大三角形的1/2。如图6.3.5，我们用字母"L"表示小三角形拼块的方向。中间的那块必须旋转180°才能装上，但它随后被挖空。相同的结构然后递归应用于其余3个拼块中，最后得到熟悉的谢尔宾斯基三角。 图6.3.5 然而，作为一种变化，我们可以删除角上的三角形，留下2个与原始三角形方向相同的小三角形和一个旋转180°的小三角形，如图6.3.6。 图6.3.6 但是在这种情况下，情况并不像谢尔宾斯基三角那样简单。因为剩下的3个三角形拼块组成的梯形不具有旋转对称性。这意味着三个拼块中的每一个都有可以进行反射变换和旋转变换，重新拼成梯形。如图6.3.7所示，正三角形有6种保持基本形状的对称变换。将它们拼回梯形之中，理论上有6x6x6 = 216种可能的拼法，迭代数次之后会诞生出216种分形图案。但是这些图案中有一些只是彼此对称，实际的图形是相同的，将相同的图案刨除之后，可以得到99种分形图案。图6.3.8是其中的12种，它们的形态千差万别，有的变成了几个独立的部分，有的形成了一条曲线，有的就像谢尔宾斯基三角一样形成了无限多个孔。 谢尔宾斯基三角的这些亲戚们都是自相似的，有3个不重叠的小部分，每一个都缩小了1/2。因此，它们的分形维数与谢尔宾斯基三角相同：
图6.3.7 正三角形的6种对称变换
图6.3.8 如图6.3.9，将这些奇形怪状的分形图案拼接在一起，可以形成各种各样的纹样素材。
图6.3.9 同理，正方形也可以进行类似的操作。把一个正方形分成4个相同的小正方形，然后把右上角的正方形挖空，然后，将相同的构造递归地应用于其余三个部分中的每一个即可。在下图6.3.10中，字母"L"用于显示正方形的方向。
图6.3.10 但与正三角形不同的是，正方形有8种保持基本形状的对称变换。逆时针旋转90°、180°和270°，水平和垂直反射，以及沿对角线的反射，如图6.3.11所示。这8种变换中的任何一种都可以应用到上面构造中的正方形，3个正方形仍然像以前一样配合在一起，只是每个正方形的朝向可能不一样。因为有8种可能的变换，所以理论上有8×8×8 = 512种可能的组合。但同样是对称性的缘故，不同的组合可能会产生相同的分形，将相同的图案刨除之后，最终得到的分形图案有232种。图6.3.12展示了其中的8种。它们同样是自相似的，分形维数依然同谢尔宾斯基三角一样：
图6.3.11 正方形的8种对称变换
图6.3.12 如图6.3.13，将它们拼接在一起，同样可以创作出各种各样的纹样素材。
图6.3.13 遵循相同的思路，将正三角形和正方形扩展到3×3、4×4……我们可以创造出无穷无尽的谢尔宾斯基三角的更远房的亲戚，如图6.3.14~17。
图6.3.14
图6.3.15
图6.3.16
图6.3.17 如果继续放宽限制，你会发现除了正三角形和正方形之外，很多多边形都有潜力生成有美感的图案，包括矩形、直角三角形、梯形等等。此时，似乎有无数的多边形正等待被分割，等待被掏空，等待被迭代…… 图6.3.18展示了含有30°角的直角三角形均分3份然后挖空一块的结果，其中的两种情况最后都生成了科赫雪花曲线，而且与科赫雪花曲线拥有同样的分形维数1.26。图6.3.19是底角为60°角的等腰梯形均分4份的结果，生成的图案中有个别跟谢尔宾斯基三角挖空顶角生成的图案相同。图6.3.20~21都是拆分等腰直角三角形的结果，只是一个分成了4份，一个分成了9份。从图6.3.21可以看出，随着挖去图块数量的增加，分形维数逐渐变小。图6.3.22是矩形均分4份的结果。
图6.3.18
图6.3.19
图6.3.20
图6.3.21
图6.3.22 如果彻底放飞自我，你会发现拼块的摆放无需遵循严格的秩序，它们可以分离，可以重叠，或三五成群，或星罗棋布；但不变的是重复的迭代，简单的拼块最终会变成复杂而又美丽的结构。图6.3.23~30就是几幅放飞自我的作品，此时坐在电脑前百无聊赖地摆弄着方块的我深感传统绘画技法似乎遭遇了前所未有的挑战。挥洒自如的极简写意，精雕细刻的极繁工笔，人类几千年传承的精湛技艺难道全都敌不过谢尔宾斯基的徒子徒孙们随意摆下的几个方块？或许，当传统艺术因过于精致和晦涩而最终走向死亡的时候，数学会成为拯救艺术的一条新出路。
图6.3.23 埃菲尔铁塔
图6.3.24 蕨类植物
图6.3.25 流星镖
图6.3.26 枫叶
图6.3.27 花环
图6.3.28 花朵1
图6.3.29 花朵2
图6.3.30 花朵3 青山不改，绿水长流，在下告退。 转发随意，转载请联系张大少本尊，联系方式请见公众号底部菜单栏。 |
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