无题602 / 走进混沌 / 《走近混沌》-4-再回到分形龙

分享

   

《走近混沌》-4-再回到分形龙

2014-02-25  无题602
 

第四章:再回到分形龙

两人一看,张三本子上画的是下面的图形:

图(4.1):谢尔宾斯基三角形

据张三介绍说,这是另一种很简单的分形,由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(Wac?aw Franciszek Sierpiński1882-1969)而得名。谢尔宾斯基主要研究的是数论、集合论及拓扑学。他共出版了超过700篇的论文和50部著作,在波兰的学术界很有威望。

图(4.2):纪念谢尔宾斯基而发行的邮票和谢尔宾斯基奖章

张三说,他原来怎么也想不通维数为什么会是一个分数?后来,谢尔宾斯基三角形的生成过程使他有点开窍!

你们看,这个分形可以用两种不同的方法产生出来:一种就是图(4.1)那种‘去掉中心’的方法:最开始的第一个图形是个涂黑了的三角形,显然是个2维的图形。我们对它做的迭代变换就是挖掉它中心的三角形,成为第二个图,然后,再继续挖下去……

“开始我想,无论怎么挖,不都应该还是好多好多2维的小三角形吗?所以图形总是2维的……”张三说:“但后来,我在网上发现有另外一种方法,也能构成谢尔宾斯基三角形……”

张三在本子上翻出另一张图给朋友们看:

图(4.3):由曲线的迭代生成谢尔宾斯基三角形

这种方法是从图(4.3)中(1)所示的曲线开始迭代,迭代无限次之后,最后也得到谢尔宾斯基三角形。而曲线是一维的,按照张三原来那种经典的想法,谢尔宾斯基三角形好像又应该是1维图形。所以张三发现:有些图形的维数不好用原来那种经典的方式来理解,当进行无穷次迭代后,几何图形的性质发生了质变,维数也不同于原来的生成图形的维数了。看起来,谢尔宾斯基三角形的维数应该是一个介于12之间的数。但到底是多少呢?张三看见李四给出了一个计算分形维数的公式,便急于想要把这个分数算出来。

根据李四所解释的方法,张三从图(4.1)或图(4.3)右边的最后一个图计算分形维数。你们看:将图形按照21的比例缩小,然后,用3个小图放在一起,就可以构成和原图一模一样的图形。因此,张三很快地算出了谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫維数d = ln(3)/ln(2) 1.585

下面,我们再回头研究分形龙的维数。第一章的图(1.3)描述了分形龙的自相似性。从图中看出:如果将分形龙曲线,尺寸缩小为原来的一半之后,得到右上图的小分形龙曲线。然后,将四个小分形龙曲线,分别旋转方向,成为如右下图的位置。最后,再按照右下图中箭头所指的方向,移动四个小分形龙曲线,便拼成了左下图的、与原来曲线一样的分形龙曲线。因此,如此可以证明,分形龙曲线的豪斯多夫維维数为2,因为根据公式(3.1),d = ln(4)/ln(2) = 2

这儿又给出了一个具体例子:经过无穷次迭代之后,图形的性质发生了质变,豪斯多夫維从1维变成了2维。也就是说,图(4.4)中,有限次迭代中的折线,无数次折叠的结果,使折线充满了2维空间,成为图中右边的2维图形。

图(4.4)有限次迭代到无限次迭代:维数从1变成了2

有趣的是,如图(4.5)所示,分形龙图形的边界也是一个可以用迭代法产生的分形,现在我们来计算分形龙边界的豪斯多夫維。

图(4.5):分形龙边界构成的分形

由图4.5可知,整个分形龙曲线的边界是由四段相似的图形组成的。这种分形的维数估算方法比较复杂一些,它的“分形维数“(d)可以通过解如下方程求得:

图(4.6):分形龙边界由四段自相似图形构成

通过分形龙及其它几种简单分形,我们认识了分形,理解了分数维。分形几何是理解混沌概念及非线性动力学的基础,在现代科学技术中,有着广泛的应用。

http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-603944.html  

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。如发现有害或侵权内容,请点击这里 或 拨打24小时举报电话:4000070609 与我们联系。

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多
    喜欢该文的人也喜欢 更多

    ×
    ×

    ¥.00

    微信或支付宝扫码支付:

    开通即同意《个图VIP服务协议》

    全部>>