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第四章：再回到分形龙 两人一看，张三本子上画的是下面的图形：
图（4.1）：谢尔宾斯基三角形 据张三介绍说，这是另一种很简单的分形，由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wac?aw Franciszek Sierpiński，1882-1969）而得名。谢尔宾斯基主要研究的是数论、集合论及拓扑学。他共出版了超过700篇的论文和50部著作，在波兰的学术界很有威望。 图（4.2）：纪念谢尔宾斯基而发行的邮票和谢尔宾斯基奖章
张三说，他原来怎么也想不通维数为什么会是一个分数？后来，谢尔宾斯基三角形的生成过程使他有点开窍！
你们看，这个分形可以用两种不同的方法产生出来：一种就是图（4.1）那种‘去掉中心’的方法：最开始的第一个图形是个涂黑了的三角形，显然是个2维的图形。我们对它做的迭代变换就是挖掉它中心的三角形，成为第二个图，然后，再继续挖下去……
“开始我想，无论怎么挖，不都应该还是好多好多2维的小三角形吗？所以图形总是2维的……”张三说：“但后来，我在网上发现有另外一种方法，也能构成谢尔宾斯基三角形……”
张三在本子上翻出另一张图给朋友们看： 图（4.3）：由曲线的迭代生成谢尔宾斯基三角形
这种方法是从图（4.3）中（1）所示的曲线开始迭代，迭代无限次之后，最后也得到谢尔宾斯基三角形。而曲线是一维的，按照张三原来那种经典的想法，谢尔宾斯基三角形好像又应该是1维图形。所以张三发现：有些图形的维数不好用原来那种经典的方式来理解，当进行无穷次迭代后，几何图形的性质发生了质变，维数也不同于原来的生成图形的维数了。看起来，谢尔宾斯基三角形的维数应该是一个介于1和2之间的数。但到底是多少呢？张三看见李四给出了一个计算分形维数的公式，便急于想要把这个分数算出来。
根据李四所解释的方法，张三从图（4.1）或图（4.3）右边的最后一个图计算分形维数。你们看：将图形按照2：1的比例缩小，然后，用3个小图放在一起，就可以构成和原图一模一样的图形。因此，张三很快地算出了谢尔宾斯基三角形的豪斯多夫維数d = ln(3)/ln(2) ≈ 1.585。
下面，我们再回头研究分形龙的维数。第一章的图（1.3）描述了分形龙的自相似性。从图中看出：如果将分形龙曲线，尺寸缩小为原来的一半之后，得到右上图的小分形龙曲线。然后，将四个小分形龙曲线，分别旋转方向，成为如右下图的位置。最后，再按照右下图中箭头所指的方向，移动四个小分形龙曲线，便拼成了左下图的、与原来曲线一样的分形龙曲线。因此，如此可以证明，分形龙曲线的豪斯多夫維维数为2，因为根据公式（3.1），d = ln(4)/ln(2) = 2。
这儿又给出了一个具体例子：经过无穷次迭代之后，图形的性质发生了质变，豪斯多夫維从1维变成了2维。也就是说，图（4.4）中，有限次迭代中的折线，无数次折叠的结果，使折线充满了2维空间，成为图中右边的2维图形。 图（4.4）有限次迭代到无限次迭代：维数从1变成了2
有趣的是，如图（4.5）所示，分形龙图形的边界也是一个可以用迭代法产生的分形，现在我们来计算分形龙边界的豪斯多夫維。 图（4.5）：分形龙边界构成的分形
由图（4.5）可知，整个分形龙曲线的边界是由四段相似的图形组成的。这种分形的维数估算方法比较复杂一些，它的“分形维数“(d)可以通过解如下方程求得:
图（4.6）：分形龙边界由四段自相似图形构成
通过分形龙及其它几种简单分形，我们认识了分形，理解了分数维。分形几何是理解混沌概念及非线性动力学的基础，在现代科学技术中，有着广泛的应用。 |
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