 19世纪末、20世纪初，在东方，似乎整个时代都在想着如何在旧世界中获得重生。在西方，科学不断地向前发展，不断冒出了越来越多的理论与新的视角。一个个英雄人物在你方唱罢我登场的时代环境中脱颖而出，对于那个昨日的世界，有人怀念，有人反胃，有人悲观，有人乐观。或许正是在这样一个多元化的时代中，那个逝去的世界在今天看来才显得格外珍贵。 有人护着旧时代的柱子，久久不愿撒手，而更多的人，抱着对未来的一份憧憬，艰难向前，对于数学来讲，亦是如此。 大卫·希尔伯特于1862年1月23日出生于德国的哥尼斯堡的附近。在很小的时候，他就展现出了极强的数学天赋，然而他的父亲希望他在大学修法律，而希尔伯特却无视父亲的劝告，与闵可夫斯基共同携手进入了哥尼斯堡大学攻读数学。  俗话说，这个世界中，永远不变的就是变化。但是对于数学家来讲，有些东西是亘古不变的，而他们，为此不惜用尽一生的力气去追寻。当文科生们在学校里面风花雪月，换了一个又一个对象，而后感慨人心不古的时候，理科生们试图去寻找变化背后中那些不变的本质。 19世纪的最后25年，代数不变量已经成了数学研究的主要焦点之一，其中涌现出了被后人称为“不变量之王”的德国数学家果尔丹，他提出了一个关于代数不变量结构的简化定理的猜想。后来，希尔伯特用了六个月的时间证明了它，从此一跃成名。 “这不是数学！”果尔丹惊呼道：“这是神学！” 大学毕业以后，希尔伯特获得了留校的资格，但很长时间都是一名编外讲师，靠着微薄的收入度日。这种情况一直到了1892年才有所好转，因为在这一年，克罗内克去世了，不久之后，魏尔斯特拉斯退休，才算是为后来的数学家腾出了几个空位。在当了六年的编外讲师之后，希尔伯特终于获得了一个正式的学术职位。 喜上加喜的是，在同一年，希尔伯特与妻子凯特·耶罗士结婚了，第二年生下了他们的儿子。此外，哥廷根大学的克莱因一直劝说希尔伯特，最终在1895年，希尔伯特被说动了，于是搬到了哥廷根，一直到他去世，他一直在当时的学术中心哥廷根大学。  希尔伯特是一个非常乐观的人，或许他认为，数学即将走向终结，这并不是说数学完蛋了，而是说数学将进入具有完备性的公理化时期。到了哥廷根大学之后，他在1898年开了一门“欧几里得几何原理”的课程。这里面的内容就连初中生都会，但希尔伯特的独创性在于，他的这门课是对几何基础的一种全新的发展。 希尔伯特提出了一套几何学公理，以弥补欧几里得的古典处理中的几个漏洞。他在建立一套完备的数学大厦。 1900年，新的世纪到来，8月，众多数学家齐聚巴黎，召开了一次国际大会。此时，38岁的希尔伯特已经站在了时代的巅峰，他向人们做了一份报告，报告中，他列举了23个在那时来讲还没有解决的数学难题。这23个问题将成为20世纪的挑战，但他乐观地相信，一切都能得到解决。在这次会议上，希尔伯特最先提到了康托尔的数学研究成果，算是为这位已经陷入精神疾病的大师带来了一丝肯定。  似乎当时的数学家都认为，数学即将迎来一个终点，正如当时的物理学家所相信的那样，物理学的未来，无非就是对小数点后面的研究。说白了，就是前人已经将路全都铺平了，研究已经走到了尽头，后人的工作，只是不断改进实验仪器，让测量和算术更精准一点就是。 量子力学和相对论两场革命将旧的物理体系炸开了一个巨大的洞，哥德尔也用他的屠龙宝刀将数学劈开了一道深深的口子，不过这些都是后话了。 罗素一边撩着妹子，一边也在自己的研究，他一直希望能够发展出一种符号逻辑体系，利用这种体系，就可以实现把算术还原为纯逻辑而不会导致悖论。于此，他与怀海特合力写了三卷本的《数学原理》，这本著作从纯逻辑开始，以清楚明白的数学为结束，中间是简单而直接的步骤。似乎，一切看上去都是那么的井井有条。 就在罗素为古典数学寻找一种逻辑基础从而避免悖论的时候，一位年轻的荷兰数学家布劳威尔极力反对这种在他看来属于“教条式”的数学。他认为，数学就存在于数学家的意识之中，而不在语言的表述中。数学非但不是来源于逻辑，逻辑反而是来自于数学。 希尔伯特另外一位得意门生赫尔曼·外尔也抱持着悲观的信念，甚至认为魏尔斯特拉斯和康托尔已经建立的处理极限的过程是没有根基的。外尔很快被劳威尔吸引，这在希尔伯特看来，无异于一场背叛，不仅是对自己的背叛，更是对整个数学体系的背叛。 希尔伯特的信念在于，数学与逻辑都能用一种符号语言表示出来，这种语言不是一般意义上的语言，而是数学的语言。从内部看，它就是数学，每一步推理都有迹可循，被整的明明白白，没有任何歧义。而从外部看，它可以在不考虑任何意义的情况下进行处理。举个例子，比如“发与啊额看”这句话在中文里就是一句废话，因为是我瞎打的，它毫无意义。在现实中的语言，要考虑其意义，再比如“我昨天在印度的纽约”，这句话也没意义，因为是错的，纽约根本不在印度，而在美国。但数学中的语言，我们可以不必考虑其意义，只要能在数学的框架下被推导出来，那它就是存在的，我们也应该将它视为存在。 我们可以将希尔伯特的工作视为一种终极化的公理化，从最初几个公理出发，推导出来的整个数学世界，必然是没有矛盾的。就好比，如果将数学的公理比作原子，那么这些原子最后会推导出整个元素周期表，氢元素和氧元素必然是由原子推导出来的，且元素之间没有任何矛盾之处。 希尔伯特希望能够证明PA是完备的，也就是说，任何一个可以在PA中表出的命题，或者可以在PA中被证明为真，或者可以在PA中被证明为假。只不过，让他意想不到的是，两年后，一个叫哥德尔的匈牙利数学家粉碎了希尔伯特的美梦。  1930年，当希尔伯特退休的时候，他应邀于柯尼斯堡在德国科学家和医生协会的会议上做了一场特殊的讲演，演讲的主题是：自然科学与逻辑。他依然带着那份乐观，坚定地说不存在解决不了的问题。在演讲的最后，他说：“我们必须知道！我们将会知道！” 紧接着不久，纳粹上台，犹太人纷纷逃离德国。希尔伯特一方面公开抨击政治制度，一方面又无法理解为何德国的法律无法抵御任何袭击。 1943年2月14日，情人节，二战的硝烟还没有散去，希尔伯特在孤独中去世，享年82岁。 下期：哥德尔 |
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