线性代数中的几何图形

线性代数中，比如某 2 维的向量  ，如果乘上系数  ，就可以表示它所在的、过原点的直线：

而有两个 2 维的线性无关向量  、  ，通过它们的线性组合  就可以表示整个  ：

但如果我们不感兴趣过原点的直线和整个  ，而是别的一些几何图形，比如过  、  的直线（不过原点），或者以  、  为两端的线段，或者  、  、  、  围成的多边形，甚至一些曲线，那么线性代数能够帮到我们吗？

上述几何图形其实就是  的一部分，因此只需要对系数  进行一些限制就可以办到，下面来具体解释下（本文不进行具体的推导了，只进行一些介绍）。

1 直线和平面

1.1 过  、  的直线

如果限制  ，即令：  那么  就表示过  、  的直线：

1.2 包含  、  和  的平面

如果再增加  ，还是限制系数之和为 1，即令：  此时  代表什么呢？可以这么来看，当  的时候，得到的还是过  、  的直线：

然后令  、  ，那么会得到与上述直线平行的直线：

不断变换  会得到所有平行直线，最终填满整个  。所以此时的  代表了包含  、  和  的平面，也就是  ：

当然上述作法在  中没有必要，但是在  中就可以轻松表示包含  、  和  的平面：

2 线段和封闭区域

2.1 端点为  、  的线段

如果除了限制  外，还要求系数都大于等于 0，即令：  那么  就表示端点为  、  的线段：

2.2  、  和  围成的封闭区域

如果再增加  ，即令：  当  的时候，得到的还是端点为  、  的线段：

然后令  、  ，那么会得到下面的线段：

不断变换  最终会填满  、  和  围成的封闭区域。所以此时的  代表了  、  和  围成的封闭区域：

2.3 凸包

如果再增加一个  ，即令：  那么  表示的不是像下面这样凹进去的图像：

它表示的是包含这 4 个点的凸出的图像：

用数学的语言就是，  表示的由  、  、  以及  构成的凸包，这也是一个重要的概念，在凸优化中会用到。

3 贝塞尔曲线

如下的  、  、  以及  会构成一个凸包：

如果像下面这样对系数进行限制：  那么  表示的就是该凸包内的一条曲线，也称为贝塞尔曲线：