[原创]2011年上海高考数学（理）压轴题第23题详解与评析

2011年上海高考数学（理）压轴题第23题详解与评析
大罕

　
试题：已知平面上的线段l 及点P，任取上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l ),
      ⑴求点P(1,1)到线段l ：x-y-3=0(3≤x≤5)的距离d(P,l )；
      ⑵设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d(P,l )≤1}所表示的图形面积；
      ⑶写出到两条线段l ₁,l ₂距离相等的点的集合Ω={P|d(P,l ₁)=d(P,l ₂)}，其中l ₁=AB,l ₂=CD,A,B,C,D是下列三组点中的一组：
      对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，② 6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答 计分.
      　①A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0) .
      　②A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2) .
      　③A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0) .　
 详解：
     第⑴题比较简单，线段l ：x-y-3=0(3≤x≤5)即线段AB，如图1所示，因为PA⊥AB, 所以按定义，P点到线段AB的距离d(P,l )＝|PA|＝√5.
     第⑵题.按定义，与l  距离等于1的点的集合，从左右两侧看是与l “等高平齐”的两条线段，从上下两头看分别是与两条线段“吻合”的半径为1的两个半圆，并且这两条线段与两个半圆围成一个形如操场的封闭的曲线.
     因此，与l 距离小于或等于1的点的集合是一个由操场曲线所围成的“实心”的平面块（图2）.其面积显然是一个边长为2的正方形加上一个半径为1的圆的面积的和，等于4+π.
     第⑶题. ① 若A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)，则l ₁,l ₂是长度为3、相距为2的两条平行线段，连接AC、DB，则组成一个矩形CABD.
     依题意，当点P在矩形CABD内部时，集合Ω={P|d(P,l ₁)=d(P,l ₂)＝1}，它是位于AB、DC正中间、平行于AB、且与AB相距为1的线段MO，方程为x=0(0≤y≤3)；
     当点P在矩形ABDC外部时，集合Ω={P|d(P,l ₁)=d(P,l ₂)＝a, a>1}，它是线段CA和DB的中垂射线(向上或向下且不含端点M、O)，方程为x=0(y>3)和x=0(y<0)) .
     综合起来，Ω={(x,y)|x=0，y∈R}，即y轴，如图3-1所示.
     ②若A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2) , 连接CA、DB，则组成直角梯形矩形CABD.
     过B作BF⊥CD交CD于F，过D作DE⊥AB交AB的延长线于E，如图3-2所示.
     以下要分3种情况加以讨论.
     情形1：当点P在矩形CABF内部和朝向y轴正方向的外部时，即为①的情形，Ω₁={(x,y)| x=0,y≥0}，其图形是y轴的非负半轴；
     情形2：当点P在矩形FBED内部时，设P点为轨迹上任一点，因为P点到定点B和定直线CD等距，所以P点轨迹是抛物线，且取其在矩形FBED内的那一段.而抛物线的焦点为B(1,0),准线为x=-1，因此抛物线方程y²=4x，于是Ω₂={(x,y)|y²=4x,-2≤y<0}；
     情形3：当点P在矩形FBED的朝向y轴负方向的外部时，P点轨迹是线段BD的中垂射线ME(不含线段ME)，由k_BD=1,得k_ME=-1,而M(0,-1),于是 Ω₃={(x,y)|y=-x-1, x>1}
     综合起来，
      Ω=Ω₁∪Ω₂∪Ω₃
     ={(x,y)|x=0,y≥0}∪{(x,y)|y²=4x,-2≤y<0}∪{(x,y)|y=-x-1, x>1}.
     ③若A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0) ，连接AD,则组成Rt△AB(C)D.
     过A、D分别作y轴、x轴的垂线，二者交于E点，取BD的中点M,过M作x轴的垂线交AD于N点(显然N是AD的中点)，交AE于F点，过N作AD的垂线交直线DE于G点, 过G点作y轴的垂线GH,如图3-3所示.
      以下要分4种情况加以讨论.
     情形1：当点P在Rt△AB(C)D的左下角时，第三象限及x轴、y轴的非正半轴上的所有点，它们到B(C)距离符合最小值的定义，组成的集合Ω₁={(x,y)| x≤0，y≤0}；
     情形２：当点P在正方形AFMB的内部时，对角线BF上的点（不含B点）均符合定义，组成集合Ω₂={(x,y)| y=x，0<x≤1 }；
     情形３：当点P在矩形AEGH的内部时，按定义，|PA|=y_P, 即x²+(y-1) 整理得x²=2y-1，组成集合Ω₃={(x,y) | x²=2y-1，1<x≤2}；
    情形4：当点P在矩形AEGH的右上方的外部时，按定义，到AB、CD距离最小的点应在线段AD的平分线NG上，由N(1,1/2)和k_NG=2, 可知直线NG的方程为4x-2y-3=0，所组成的集合Ω₄={(x,y)|4x-2y-3=0，x>2 }；
     综合起来，
     Ω=Ω₁∪Ω₂∪Ω₃∪Ω₄ 
    ={(x,y)|x≤0，y≤0}∪{(x,y)|y=x，0<x≤1}∪{(x,y)|x²=2y-1，1<x≤2}∪{(x,y)|4x-2y-3=0，x>2}.　　   

　　评析：创新是民族进步的灵魂，也是教育改革的核心观念。高考命题从形式到内容的创新，乃是高考生命力的生动体现。上海的数学高考一直遵循这一理念，多年来孜孜不倦地进行探讨，年年有所创新，给各地的高考命题作出了表率。2011年高考（理）第14题，是一次成功的尝试。
　　枝叶繁茂源于扎实的根基。创新，不是脱离实际的胡编乱造，而是扎根于教材沃土的奇葩。
　　本题涉及的知识点，主要是轨迹的概念：到两定点距离相等的点的集合是连接这两点的线段的垂直平分线；到一定点距离等于定长的集合是以该点为圆心、定长为半径的圆；到一定点和一定直线距离相等的点的集合是以该点为焦点、该直线为准线的抛物线。这些显然是与中学教材紧密相扣的。
　　点到直线的距离是大家所熟知的，而本题给出了点到线段的距离的概念，这不仅给我们带来新鲜感，而且对距离概念作出了合乎情理的有益的推广。这种推广还给我们带来数学的美感，请看：到长为a的线段l距离等于r的点的集合，是一个与此线段“等高平齐”、距离为r的两条平行线段以及以这平行线段端点为直径端点的两个半圆所围成的封闭的“操场”曲线，它围成的面积为2r(a+π)。
　　紧扣教材和内容和形式新颖，并非一道题可用作高考题的充分条件，还要看其考查功能，是否有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生、有利于培养学生创新和实践能力的原则而定。作为压轴题的压轴题，应该是一道有一定难度的试题，以进一步考察那些能力较强的考生。
　　何谓能力较强？笔者以为体现在三个方面：
　　一是在非标准状态下甚至在“险恶”的环境下执行常规操作。好比普通人行走不会摔倒但走钢丝就不行了。平衡是常规操作，在钢丝上取得平衡也是常规操作，但需要高超的能力。又如数的计算一般都能掌握，但在抽象的字母下进行变换就需要较强的能力。给出一定点和定直线，求到定点和定直线距离相等的轨迹，这是常规情形下求抛物线方程。可是在意料不到的情况下，本题的第⑵问，实际上是给出了定点B和定直线CD，求到此点和此直线距离相等的点的轨迹方程，许多学生就傻眼了。这里有能力在起作用。
　　二是对数学概念和数学问题的领悟。就应试而言，所谓领悟，其实就是读懂题意。对于创新题，往往是先给出概念，要求应试者当场快速地理解概念的内涵，继而利用其外延解决问题。而数学的抽象性，给我们理解题意带来不小的障碍。“已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l) ”。如何理解？过P点作线段所在直线的垂线，若垂足在线段上，则垂足与P点的线段为PQ的最小值（与原本定义相符合）；若垂足落在线段的延长线上，则线段靠近P点那个端点与P的连线段为PQ的最小值。这样，点到线段的距离的概念我们就算是读懂了。
　　三是面临不同情况的分别讨论。讨论不是无病呻吟，而是不得已而为之的心甘情愿的行为。能想到要讨论是能力，能选择一个标尺做到无遗漏无重复更是一种能力。在陌生环境下自觉地、无遗漏无重复加以讨论是一次严峻的考验。本题的第（3）小题，两条线段有公共点且构成直角三角形的两直角边，到它们距离相等的点的集合自然而然必须分成几种情形才行。
　　可喜的是，据权威人士讲，考试下来的结果比预想的要好。这说明上海的中学教育多年来提倡重视基础发展能力的教学理念起了好的作用。