与抛物线定义相关的最值问题

赵 蕾

(江苏省白蒲高级中学，226511)

与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等.通过抛物线的定义,可以实现由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离,即点与点到点与线的相互转化.因此,利用抛物线的定义,可以解决两类常见问题:一类是将抛物线上的点到准线的距离利用定义转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解;另一类是将抛物线上的点到焦点的距离利用定义转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.下面从常见的命题角度结合实例加以剖析.

视角1 抛物线上到焦点与定点距离之和的最值问题

例1 已知抛物线x2=4y的焦点为F,点A(-1,2),在此抛物线上确定一点P,使得|PF|+|PA|的值最小,并求该点P的坐标.

分析 先确定定点A与抛物线的相关位

置,再利用抛物线的定义,把抛物线上的点到焦点与定点的距离之和转化为该点到准线与定点的距离之和问题,结合三角形的性质,数形结合加以分析求解.

解 把点A的坐标代入知(-1)2<4×2,可得点A在抛物线x2=4y的内部.

如图1所示,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l,垂足为点Q.过点A作AB⊥l,垂足为点B,连结AQ,根据抛物线的定义,可得

|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|

≥|AQ|≥|AB|.

结合三角形性质,当且仅当P,Q,A三点共线时,即点P在直线AB上时,|PF|+|PA|的值最小,为|AB|.

因为A(-1,2),而点P在直线AB上,故可设点P的坐标为(-1,y0),代入x2=4y,得

故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为

评注 抓住抛物线的定义,由定义可知,|PF|等于点P到准线l的距离,PA⊥l时|PA|+|PF|的值最小,充分体现了数学中的转化思想.

视角2 抛物线上到点与准线的距离之和的最值问题

例2 已知点P为抛物线E:y2=4x上的一个动点,Q为圆C:x2+(y-4)2=1上的一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是______.

分析 根据抛物线的定义，转化为求点P到点Q的距离与点P到焦点的距离之和的最小值.通过数形结合知当P、Q、F三点共线时，对应的最小值为圆心C到焦点的距离|CF|减去圆的半径.

解 根据题意，知圆C:x2+(y-4)2=1的圆心坐标为C(0,4),半径为r=1.

抛物线E:y2=4x的焦点坐标为F(1,0).

如图2所示,根据抛物线的定义,点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和，即为点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F的距离之和,那么结合三角形的性质,有

|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1

故填答案:

评注 根据抛物线的定义,点P到抛物线的准线的距离等于|PF|,结合三角形的特征,当P、Q、F三点共线时对应的距离之和的最小,由此实现巧妙的转化.

视角3 抛物线上焦点弦中距离之和的最值问题

例3 已知抛物线E:y2=4x,过其焦点F的直线与抛物线E交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为______.

分析 根据抛物线的定义，转化为

|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2

=|AB|-2；

再结合抛物线的通径最小得出最小值即可.

解 由题意知抛物线焦点为F(1,0).

如图3,由抛物线的定义，可知

|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2

=|AB|-2,

即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.

依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,

所以|AC|+|BD|的最小值为2,故填答案:2.

评注 抓住抛物线的定义,由定义可知,A,B两点到y轴的距离之和等于它们到准线的距离之和减去p,进而转化为求解|AB|的最小值问题.通过两次转化来实现求解最值的目的.

视角4 抛物线上建立目标函数求最值问题

例4 如图4，已知∆ABP的三个顶点在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,

(1)若|PF|=3,求点M的坐标;

(2)求∆ABP面积的最大值.

分析 (1)根据|PF|=3,结合抛物线的定义确定点P的纵坐标,进而求解P的坐标,结合F的坐标以及向量的关系式即可确定点M的坐标.(2)设出AB的直线方程,根据直线与抛物线的位置关系,结合函数与方程思维确定点M的坐标关系式,利用向量的关系式确定相应点的坐标,确定三角形面积的关系式,利用函数的最值问题来确定最值.

解 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.

设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以或.

由分别得或

(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).

由得x2-4kx-4m=0.

于是Δ=16k2+16m>0,

x1+x2=4k,x1x2=-4m,

所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).

由得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以

由x20=4y0得

由Δ>0,k2≥0,得

又因为点F(0,1)到直线AB的距离为

所以S∆ABP

记令f ′(m)=9m2-10m+1=0,解得

可得f(m)在内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.

又所以当时,f(m)取到最大值此时

所以，∆ABP面积的最大值为

评注 本题主要考查圆锥曲线中的综合问题.对应有关三角形面积的最值问题,关键是先确定三角形面积的关系式,利用该目标函数通过导数法来确定相应的最值问题.关于圆锥曲线的综合问题,涉及的几何性质比较多,一般尽可能地在几何范畴内找出必要条件(最好是充要条件),再化归为代数问题进行计算解决,其中，减少计算量是至关重要的.有时还可以结合圆锥曲线的相关定义和相关的性质求解.

定义是解决问题的基础和灵魂,要善于思考定义和应用定义.利用抛物线的定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离的相互转化,进而达到求解问题的目的.