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⦿浙江省慈溪市观城中学 何凯果 学习数学离不开解题，解题依赖于方法.对一道数学问题而言，解题方法往往不止一种，有的属于“通法”，有的则属于“特法”“巧法”.虽然在数学解题教学中我们提倡要“淡化特殊技巧，注重通性通法”，但对于很多学生而言，若能掌握一些“特法”“巧法”就能在解题中起到化繁为简、事半功倍的效果，因此，让学生掌握更多好的解题技巧与方法是数学解题教学的重要任务.由于这些“特法”“巧法”往往具有很高的思维含量，学生不仅很难想到，而且即使“当时理解了”，但在解题中却“想不到去用”.那么，如何让学生真正地掌握并能灵活运用这些“特法”“巧法”呢？众所周知“数学是自然的”，那么数学解题方法的教学更要顺乎“解题自然”，也只有让那些“特法”“巧法”以符合认知规律的方式得以自然呈现与建构才能够被学生所理解与掌握.下面笔者就以“定比等差法”为例，谈谈对此的看法. 问题 (2018年浙江卷，17)已知点P(0，1)，椭圆 一、顺应思维“自然”，经历通性通法“通性通法”从基本概念、原理出发，以基础知识为依托、以基本方法为技能，按照既定的步骤，逐步推出问题和解答，解法思想顺应学生的思维自然，其具体操作过程易被学生所掌握.不仅如此，通性通法还是“特法”“巧法”的根基，“特法”“巧法”一般都是基于“通性通法”的优化或者升级.因此，“特法”“巧法”的教学不是“无源之水、无本之木”，不是一蹴而就的“经营模式”，而是一种长期的“经营策略”，是在“通性通法”基础上的“潜移默化”“螺旋上升”的过程. 本题涉及“直线与椭圆的交点”，根据学生的解题经验，一般的“通性通法”是“设直线方程——直线方程与椭圆联立——用韦达定理消参”，具体解题过程如下： 图1 解法1：如图1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，m=9，x2=0；当直线AB斜率存在时，设直线方程为y=kx+1，联立方程得：
则 当且仅当 一些解题方法之所以被称作“通性通法”，很大程度上是因为其适用题型范围广，能够解决一大类或者一个数学知识模块的问题，其重要性不言而喻.虽然，用“通性通法”解题有时比较烦琐，但这恰恰可以作为“特法”“巧法”的参照，从而凸显出“特法”“巧法”的优越性. 二、尊重个性“自然”，分享多样解法解题的过程本质上就是主体对问题的理解、同化、转换、选择有效的解题策略作用于问题以达到目标的过程.由于不同的学生在认知风格与思维方式上的差异，从而导致他们解决问题的视角与方式也产生差异.因此，对于一道题的解法是否“自然”，不同的人可能观点并不一致，并且“自然”的解法并不唯一，也就是说不同的学生可能有他自己所认可的“通性通法”. 上述问题很多学生还会想到下面两种解法： 解法2：由
解法3：三角换元，设 这些“通性通法”的普适性与自然性虽然不及通常的“通性通法”，但它们都是学生智慧的结晶，教师通过分享这些解题方法不仅可以拓展学生的思维，而且也可以从中获得“特法”“巧法”的线索，避免了“魔术师帽子里突然变出一只兔子”的尴尬. 三、构建过程“自然”，形成“特法”“巧法”无论是“通性通法”还是学生的“个性”解法，都是顾及了学生的解题“自然”，其目的都是为“特法”“巧法”的自然构建作铺垫.当然，要实现“特法”“巧法”的自然建构，还需要设计科学合理的认知过程，一般可以按照以下三个环节展开. 1.反思与激活 解题教学始于问题，但决不止于“答案的获得”.但很多学生“却以为答案得到了，解题也就结束了”，从而失去了进一步探究的欲望.如果直接进行“特法”“巧法”的教学反而不能取得预期的效果，此时需要对前面解题活动中所涉及的知识内容、解题思路、运算过程、方法联系等进行系统的反思，从而起到重新激活学习动机的目的. 比如，对于上述问题，我们可以引导学生进行如下反思： 问题1：这三种方法孰优孰劣，你喜欢哪种方法？ 三种方法各有千秋，学生可以根据自己的认知风格进行合理选择. 问题2：这些方法之间有什么区别与联系？ 相同之处是都立足于直线与椭圆的关系，通过解方程的思想来获得参数的取值范围；不同之处是参数的选择与处理的方式不同，解法1以直线斜率k为参数，先建立k与B点横坐标的关系，再求m的值；解法2直接建立交点坐标与参数m之间的关系；解法3通过三角代换来简化运算求值的过程. 问题3：从对参数处理的角度来看，哪种方法能够更快得到结果？ 理论上是解法2能够最快得到结果，因为它直接建立坐标与参数m的联系. 问题4：解题方法是否能够进一步优化？ 如果能直接建立 扎实推进城乡公共文化服务一体化建设；深化文化体制改革，建立健全文化管理体系。要扎实开展精神扶贫活动，提供适合特殊群体的文化服务和产品。为广大农民群众提供丰富的文化产品。坚持文化惠民，完善基础设施，激发村民的文化自觉，提高农民的整体素质，提升农民生活品质，以文化自觉成就文化自信。此外，大力宣传乡土文化，打造具有乡土文化特色的景点，实现乡村振兴[9-10]。 2.回归与发现 “特法”“巧法”的教学追求的是自然发现的过程，回归到问题的起点与认知的原点可以降低发现的难度与门槛，从而能够让学生容易发现解决问题的新的方向与思路. “定比点差法”是“定比分点”与“点差法”的综合，其解题思路源于对“点差法”的升级，“点差法”是它的认知起点.因此，可以设计如下问题引导学生去发现. 问题5：如果把条件
问题6：点差法有什么优势？ 对于一般的椭圆方程
即 问题7：对于 由 问题8：定比点差法的优势在哪里？ 能够直接建立定比分点与交点之间的关系，提升了运算的效率. 在揭示“特法”“巧法”的来龙去脉的过程中，让学生的思维经历了从特殊到一般的自然建构过程，充分感受引入“特法”“巧法”的必要性与优越性，激发了学生对新的解题方法的认同感. 3.推广与应用 为了让“特法”“巧法”能够适用于更多的题型，能够解决更多的问题，需要对“特法”“巧法”进行一般性的推广.同时，在应用的过程中让学生感受“特法”“巧法”的实用价值，积累宝贵的解题经验，进一步促使方法的内化. “定比点差法”：对于一般的有心二次曲线 即 其中 在此基础上，若再引入点Q满足 则有 ②式可以化为 至此，“定比点差法”的谜底被揭开：一般地，对于 例题 设椭圆 (1)求椭圆的C的方程； (2)当过点P(4，1)的直线l与椭圆C相交于A，B，在线段上取点Q满足 解析： (2)此题可以转化为与定比分点有关，由 设 由“定比点差法”中的③式 借助“定比点差法”的结论可以秒杀高考压轴题.当然，上述两个问题只是“定比点差法”应用的小试身手，毫不夸张地讲，凡是涉及直线与椭圆的交点问题都可以用“定比点差法”进行解决，在此笔者就不再赘述. 自然的解题教学不仅让问题的解决变得更加有据可循，而且能够使学生产生思维上的共鸣，促使学生把“特法”“巧法”主动纳入到已有的知识结构中，从而使越来越多的“特法”“巧法”成为学生心中的“通性通法”. |
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上的两点A，B满足
则当m=______时，点B的横坐标的绝对值最大.
得
时等号成立，解得m=5.
直接把A，B两点代入椭圆方程，
再代入椭圆方程得
⟹当m=5时，|x2|取得最大值.
