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第十三个公式是：Gal(k/Q)=S5。Gal(k/Q)代表有理数Q上的多项式伽罗瓦群，S5代表5种物体的所有120种排列的群。只要一个多项式的伽罗瓦群等于S5，与之对应的多项式方程就无法用5种基本操作（+，-，÷，×与n次方根）。 啥意思呢，还记得之前的卡尔达诺公式吧，那是求得了三次方程通解的根式。延伸下去，自然大家就想，二次方程有根式通解，三次也有，那四次，五次呢？这个公式就是用来解决五次方程是否能有通解这个判断的工具。 这个公式是由挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦共同确定的，当然并不是两人合作，而是阿贝尔找到了途径，伽罗瓦确定成型。这两个人都只活了二十来岁，阿贝尔26岁因肺结核去世，伽罗瓦21岁因决斗去世。阿贝尔出身没落的官宦家庭，其数学才能为学校教授们所赏识，并且认为挪威这个小地方无法容纳他的才华，学校教授们共同请示挪威国王，给了阿贝尔一笔奖学金，让他去丹麦哥廷根和巴黎留学。阿贝尔留学了两年，却没有给当时的数学界大拿高斯、柯西留下任何印象。他把自己最重要的论文交给了巴黎科学院，柯西却把这篇论文一直锁在抽屉里忘记了，直到阿贝尔去世多年后才发表出来。阿贝尔回到挪威后，发表一系列论文，瞬间就征服了高斯和柯西，他们也才发现这小伙其实在自己眼皮下路过过。于是赶紧向阿贝尔发出邀请，不过阿贝尔却很快因为肺结核去世了。 伽罗瓦运气也实在不行，他也同样的，交了论文给柯西，柯西照样也给弄丢了！柯西这么一个大数学家，却连续两次把数论史上最重要的两篇论文弄丢过。伽罗瓦后来对此一直耿耿于怀，尤其联想到他之前的阿贝尔的遭遇。伽罗瓦也因为涉足法国大革命，而屡屡入狱，这也是造成他没有得到更大发展的原因。后来居然去跟人家决斗，被打死了。 他们两人的工作，实际上是提出了群论和对称性的概念。在解决五次方程根的问题时，他们发现了五个解能够构成一个数群，数群就像一个金字塔构造一样。同时，这五个解不论如何在方程中排列，表达式也不会发生改变，总和也不会发生改变。因此，一个标准的五次多项式可以有120种对称性排列。他们还发现，一个有根式解的五次多项式方程可允许的排列数是20以内。 对称群是一种基本的工具，现在反过来想应该是像工具中的轮子一样的东西，但却直到大家开始造飞机了，才发现轮子是起飞的重要保证。这一基础工具，居然到了后来的理论物理学描述亚原子领域对称性时，发挥了至关重要的作用。 第十四个公式是：ds2=(dx2+dy2)/y2。非欧几何的勾股定理，dx和dy代表一个无穷小的三角形的直角边，ds代表它的斜边。 非欧几何的创造性，与之前汉密尔顿的四元数是一样的强悍。这两门数学分支都需要有完全独断的勇气，敢于否认眼见为实这种经验，即便是见了棺材也不掉泪的勇气。非欧几何来源于欧几里得几何体系中的一个裂缝——平行线的公理假设，这是欧几里得体系最基础的五大柱石型假设，不容置疑的假设。但相比其他四条公理，这条公理一直显得有点别扭。于是千百年来吸引了无数人穷尽一生之力去证明它，却始终没有得到回报。 十九世纪中叶，天才级的高斯在处理这个问题时，也没有结果，但他的能力让他意识到，也许就是从这个平行线假设无法得到证明的地方，可以发展出一个新的几何体系。接着他的密友沃尔夫冈的儿子波约尔也加入了论证的阵营，经过一番艰苦努力，波约尔拿出了论文，也认为可能存在一种新的几何学。这篇论文却被高斯否定了，高斯认为不值得为这个论证耗费如此多的精力。但高斯的学生黎曼则继续这条道路前行，从老师对二维空间的曲率理解，推导到了三维四维空间的曲率理解。另一个独立发现非欧几何的，就是伟大的罗巴切夫斯基。 非欧几何揭示的，其实是人类的理性到了极致，同样可以与佛教哲学那样，看透我们所理解的常规世界的扭曲和错误之处。它告诉人类，人所认知的世界，实际上是根据人的认知结构塑造出来的。举个例子，一只生活在一个大地球仪上的蚂蚁，它不会有我们所具有的常规性的几何知识，那么在它的眼中，两条平行线最终会在它所居住的世界的南北两极汇聚起来，而不是永远不相交；三角形的内角和也不是180度，而可以再大一点，存在有两个直角的三角形等等。还有生活在海洋深处的鲸鱼，如果它们单纯靠声波来进行交流和探测的话，那么他们眼中的直线距离，在我们看来就是圆形——声波传播的速度是与海洋的深度呈正比的。 即便是我们自己，也可以通过转换位置来看到差异——站在地球表面我们看到的自由落体运动，是直线；但转移到近地轨道上，不论是卫星、飞船、月球，其实都在向地球做自由落体运动，但它们的自由落体运动却成了圆周型。有意思吧？ 多么奇怪的世界！是人的认知在塑造世界，而不是反过来。 第十五个公式是：
这是高斯发明的计算小于n的质数数量的公式。当然，是近似，数字n越大，估计会越准确。 大概是在二十年前还在学校时，得知高斯在大学期间发明出了用尺规方法画正十七边型。其时只觉得牛，但没有想出来是怎么画的。又过了好几年后，工作期间与人聊天，才明白可以把图形解析为一个代数问题，即怎样求出360的17等分，也就是求一个多项式方程的根。高斯就是这么干的，他解出了这个方程X17=1。也正是通过这个正十七边型，他推导出一个定理——如果整数n的所有奇质数因子都比2的某次幂多1，且这些奇质数因子只在n中出现一次，则正n边型可以画出来。尤其是引发了质数思考。 质数是个奇怪的东西，它在数轴上的分布几乎是没有规律的，高斯猜想，质数在数轴上的密度随着n的自然对数ln（n）成比例下降。由此开发了上述公式。这个公式的意义在于，当n越大，则估计会越准确。 第十六个公式是傅里叶级数公式。级数是我个人一直没搞明白的东西，只知道傅里叶级数可以把任何事物的变化都加总为正弦波组合的形式。傅里叶是典型的现代数学思维——用函数来表达一切变化和因果关系，他的级数就是从模拟热传导过程发现的。 第十七个公式是麦克斯韦四个方程，四个方程概括了电磁学的全部。麦克斯韦的推导过程再次证明了一个神奇的事实——越是空，越接近本质。麦克斯韦对电磁现象的研究是通过三篇论文达成的，前两篇论文他一直在沿用牛顿的机械观解释电场与磁场关系，他用了一大堆自旋的或正旋或逆旋的无形的齿轮来描述场的作用。结果在他测算出磁场传播速度与光速是一回事之后，他意识到光、电、磁可能有同一性，于是终于放弃了对实在物的信念，完全依赖数学推导——理性体悟，接受空空如也的现实，找到了统一电磁理论的四个简洁明了的方程——这四个方程与物质和粒子毫无关系，从空到空。越是简洁，却越说明内涵之深邃，以及相关工作的艰巨。 第十八个是质能方程。无须多言。值得一提的是，爱因斯坦通过纯粹数学推导下的猜想，找到了在时间流动和空间变化过程中的裂缝，这些裂缝因为我们的速度与光速相比天差地别，因而既有认知体系无法察觉到。所以爱因斯坦揭示出了难以用常规语言和观念理解的时空观念——我们既有的时空观其实都是幻觉和谬误。无独有偶，佛学则是借助冥想这个个人体验式的方法，逐步剥离我们日常情绪和观念所主导的大脑的自动模式（default mode），从而体悟到完全不同的时间感和空间感。 关于质能方程的推导，有很多复杂的版本，其实有一个很简单的方式联想——运动物体的动能，可以由牛顿方程给出：E=（1/2）mv2。m是物体的质量，v是物体的速度，运动物体的能量就是那么计算，任何运动物体的能量都可以写为：E=（1/2）mv21-（1/2）mv22的形式，v1和v2就是指物体从一个速度状态变换到另一个速度状态——这是高中物理知识，其中有一个常识假设——m是不变的。把这个放到狭义相对论体系里考虑，假设速度v为光速，光速c是常量不变，那么运动物体的动能就不是由速度决定的，根据能量守恒，那就只有质量发生了变化——也就是说，运动导致质量变化，从而让物体有了多余的动能，也就应该写为E=（1/2）m1c2-（1/2）m2c2。这个质量的变化，简单的换算一下就是：m1-m2=E/c2。也就是那个著名的E=mc2的推导过程。是的，你看出来其中有些计算细节被忽略了，爱因斯坦真就是这么干的，他其实并没有从数学上证明质能方程，他就是这么做了个近似处理，不过这已经够了。 第十九个公式是：
ψ是波函数，m是质量，α和β是自旋矩阵旋量，p是动量。这是狄拉克的粒子能量方程。矩阵自旋量其实就是汉密尔顿发明的四元数组，也就是用一个矩阵来代表粒子的状态。粒子的能量决定于其质量、动量和自旋状态——对爱因斯坦的修正和细化——也就是弥补了爱因斯坦的模糊处理。其实爱因斯坦坦承他在数学能力上有欠缺，一直到他拿了诺奖，数学在他心中也不怎么受欢迎。他开创了一个领域，接着由狄拉克、海森堡这些数学天才来细化，并且揭示出了一个爱因斯坦自己也不愿相信的领域——量子力学。 这个方程中的α和β是关键，是对粒子四个状态的简化处理。当时认为，粒子应该只有两种状态，要么逆时针自旋，要么顺时针自旋，哪来的额外两个状态？狄拉克当时也不知道，他只不过是进行了数学推导，得出这个结论。后来他猜测，是不是还有一种没发现的粒子，跟前面两种状态是相反的？——反物质。 大家笑得要死。结果不到一年，正电子，也就是电子的反物质被发现了——数学之可怕。 现在大家知道了，四元数组中一组代表了两组不同的粒子，一种是玻色子——光子就是，还有一组是费米子——电子、质子和中子就是。他们有不同的性质，玻色子喜欢集群——所以会有激光这种东西产生；费米子喜欢独来独往，所以原子的最低能级上顶多能共处两个电子——这就解释了元素周期律。 而且，狄拉克方程也告诉我们，宇宙中不是看起来那样空荡荡的，真空里充斥了各种正反能量，时不时就可以无中生有出来。 狄拉克本人一生沉默寡言，当他因为这个方程获得诺奖时，他的第一反应是拒绝，因为他觉得出名不利于他的研究。——一个这样沉默寡言不好奖项的科学家，照样可以拥有自己的研究条件和自由发展空间，这恐怕不是用个人的勤奋和天才能解释到位的。 第二十个公式是：
陈省身-高斯-博内公式。M代表一个无边界的偶数维空间或宇宙，χ（M）是该空间的欧拉示性数，Ω是空间的曲率，这个公式是告诉我们，如果知道空间里每一点的曲率，就可以推导出这个宇宙的总体形状信息。——真是玄妙。 简单说，牛顿时代的空间，是固定的三维视角，空间处处均等；到爱因斯坦时代，看到了弯曲的空间，有曲率，但曲率是一定的；到陈省身，则抛弃了之前的所有“一定”假设，可以不用坐标系，考察一个空间的性质——曲率也是在持续流变的空间，所谓微分几何。 第二十一个公式是：2Ξ0=Ξ1。康托尔的连续统假说。Ξ1是次最小的基数性，Ξ0是最小无限整数集的基数性的大小。这个公式是说，实数集是整数集之后的次最小数字集合。 无限有大小吗？其实是有的。一些深刻的数学观念，因为专业门槛的缘故，没有成为我们的常识——比如，数字并不是基础，集合才是，比如之前说过的1+1=2，你单纯从数字是无法理解的，只有从集合的角度来定义。这是康托尔的证明，一个无限集合S，它的幂的集合将永远有着多于S的元素，S的基数性是n，而S的幂的集合的基数性则是2n。无限是有大小的。他反过来又论证，一个可数无限集，与另一个可数无限集加总，其实还是一个可数无限集，并没有增加什么。 比如一个可数无限房间的宾馆，来了一群可数无限的客人，每人一间房，都安排满了。这时又来了一个客人，他还能不能入住呢？康托尔说，可以，你把1号房间的人安排到2号去，以此类推，这个新来的客人就可以马上入住。接着他又反过来，当我要问第256。。。。号客人住在哪间房？你应该是不知道的，因为他们一直在换。 好了，这么个研究有什么作用？它涉及数学的基础问题，关系到微积分，微积分就是研究无限接近的，如果连无限是什么也没搞清楚，咋弄？也正因为康托尔对无限集合的研究，发现了一个规则——没有真正无限大到可以囊括一切集合的集合，换句话说，你是找不到一个可以统摄无限领域的普遍规则的——即便是数学创造，也是有限的。康托尔引发了哥德尔的不完备定理和海森堡的测不准原理——这两条定理为人类的理性能力划定了边界。 无限这个问题能把人逼疯——康托尔生前最后几年就是在疯人院度过的。 第二十二个公式是：dx/dt=-10x+10y, dy/dt=28x-y-xz+10y, dz/dt=-(8/3)z+xy。混沌理论公式，xyz各是一个气象变量。 至今天气预报也没有达到半个世纪前冯诺依曼预言的准确度，原因其实简单——混沌，也就是稀里糊涂一团糟。这个公式是气象学家爱德华·洛伦兹得出来的，粉碎了计算机科学家和数学家对精确度的梦想。 方程展现的是系统中关键变量随时间的变化趋势，关键是其中的xz和xy，使得方程组变成了二阶非线性，这就是产生混沌的根源。 在洛伦兹眼里，x是对流气流强度，y是上升与下降气流间温度梯度大小，z不明确，代表的事垂直温度分布相对于线性的畸变——非线性的气流层温度分布状态。把这个方程组按时间画出来，就成了一个蝴蝶型图案。 这个问题延伸出来的，就是著名的三体问题。 第二十三个公式：
著名的布莱克-斯科尔斯方程，期权定价公式。V是期权的价值，S是期权对应资产到期价值，r代表利率，σ代表股价波动性。这个方程代表了经济学内卷化发展带来的错觉——金融市场可以向经典物理世界一样被精确预测和控制。 其实这个公式并没有告知大家你可以战胜市场，其隐含了两点至关重要的信息——一是方程的左边，你必须关注资产本身的价值S，这个价值是在变化的，同时要关注期限t，波动性或者风险蕴藏其中，也就是在时间t内你要根据S的变化动态调整投资组合。二是方程的右边，你不做任何举动，仅把钱存在银行里吃利息——风险最小的投资。市场有效的话，二者其实是相等的。其实已经告知大家，任何精确的数学公式，也无法预测极端事件。 斯科尔斯本人就职的长期资本管理公司在1998年的惨败，正是对这个思维的反讽。 对数学兴趣很足，却不擅长数学，这是个人的烦恼。 |
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