数学课程作者：A.Weil 译者：陈天权 译者的话A.Weil 是著名法国数学家，在数论，多元复变，代数几何，抽象调和分析等方面都有过出色工作。战后，他移居美国，长期在芝加哥大学执教。本文是他给芝加哥大学数学系学生写的关于数学课程的简短指导。文章写在二十八年前。(和乐注：译文发布于1998年，原文写在1980年左右)这二十八年来，数学又有了新的发展。数学与其他科学分支的关系，数学与社会发展的关系都呈现了许多新的特色，这些在A.Weil的文章中当然不会有所反映，但是A.Weil的文章仍然不失为对学习纯粹数学的大学生的一篇很有价值的指导文章，文中有些观点对于学数学以外学科的同志也有参考价值，为此，将它译出，以供大家工作和学习时参考。  和欧洲大学生相比，美国大学生为一些自身的严重的缺点所困扰，严肃地指出这些缺点，让大家及时地认识它们并努力去克服它们，是非常必要的。除了早期的数学（或者选择攻读的其它领域）训练外，美国学生还缺乏基本技巧——阅读、写作和口述——的训练，也就是说，他们由于不善运用书面和口头语言而苦恼，例如：
无疑，学习和训练上述技巧是中学教育的任务，进入大学而尚未掌握这些技巧的学生（这是现在大学生中的多数）必须学会它们，不然他就不能达到硕士学位或哲学博士学位所要求的科学上成熟的程度。他应该明白，从他的大学老师那儿是不能指望得到很大帮助的。大学老师们首先是科学家，他们的主要兴趣是在他们的专题上，他们把大部分时间和精力贡献在专题的教学和研究上，很少有人对教学过程中的问题有强烈兴趣，很少有人愿意直接去教这方面的问题。这是美国高等教育的最严重的几个问题之一，使它更为严重的是：假若学生不能认识自己在智力装备上的不足（这是常见的），便不自觉地将自己沉浸在日常作业和有时写得不怎样鼓舞人的教科书学习中去。这并不是说，要想在数学方面成为一个行家无须象在其他领域中那样掌握数学的细节，这只是说，在数学中也像其他领域中那样，这样一种掌握只能通过对实质的深刻理解而获得。通过大量细节而达到实质的理解是需要一种技巧的，后者是必须和能够学会的。 上面说到的几点适用于任何学科，我们现在要专门对数学学习说几句，任何（初级阶段的）数学课学习都包含下列几方面：
在初级阶段，这三方面是同样重要的。进入高级阶段后，（b）的重要性减弱，或者与（c）难以区别了，所以高级阶段的书或教科书将把很多东西留给学生自己去作，自己去思考，这时候，专门分设的问题已经变得不那样需要，但是学生在很大程度上变成了教师的积极的合作者，除非学生在初级阶段在解决（c）型问题方面已有足够训练，不然，他是不能指望成功的。 不言自明，假如没有机智地使用数学概念以解决具体问题的能力，真正理解这些基本概念是不可能的。反之，未能理解这些概念而想应用它们去解决具体问题更是不可想象的。因此，数学学习过程中的三方面（a），（b），（c）是不可分开的。也许是受了工程学院的影响，或者是由于所谓的数学的“实际”应用的错误概念作祟，美国学院传统上包含或多或少的机械训练。这种训练对于“九九表”的教学是完全适合的，但对其它内容则很少有用了。在我系数学教程的新安排中，我们又把重点放回到原来的地方：主要概念的理解上。这也许会导致对学习过程中（b）和（c）这两部分的忽视，由于必修教材必须压缩在非常短的时间内教完，这种忽视便更易发生了。首先，美国学生进入大学时几乎没有什么值得说的数学知识；其次，美国还没有实行别的许多国家已经实行的方法：每一门数学课应配以由合格助手担任的经常性的习题课，这样，当教授集中精力于他感兴趣的理论方面时，教学中的练习方面也得到应有的重视。由于（c）的重要性还只是刚刚受到应有的考虑和我们大部分课程都是每周三小时的，重点放在（a）上的决策几乎不可避免地将以削弱（b）和（c）为代价，然而本系教师们正对所有这些问题给予应有的注意，正在许可的条件下，努力改进教学的各方面。当然改进将是逐步的。同学们，特别是决定以数学为职业的同学，必须力图保持（a）、（b）、（c）三方面的平衡。在即将到来的日子里，（c）是最容易被忽略的，他们不妨试用一些和他们所学的课题有关并有着不是常规方法能解的问题的习题集，美国或外国出版的均可，以补这方面之不足。 下面我们要讨论，构成目前教学计划中的各门课的内容及其相互关系。过去，传统课程的安排是简单的。在初级阶段，它包括：二维和三维（平面和立体）的解析几何和所谓的“大学代数”，即初等方程式论，目的在于求实系数一元方程的数值解。解析几何表述的形式是18世纪Clairaut，Euler和Lagrange所达到的水平（虽然它的边缘由于此后的磨损已经十分模糊了）。“代数”基本上是经牛领改进后的笛卡儿的代数。紧接着便是微积分和它在曲面与曲线上的应用，这基本上仍然是欧拉所定下的图式。后面便是所谓的应用数学，即沿着牛顿的线索被上一世纪的作者所发展了的初等理论力学。微积分又发展到单元复变函数，它是Cauchy，Riemann和Weistrass工作的大大删节之后的综述。最后，当学生已经学过椭圆函数的定义及它的一些公式后，他便被认为是一个训练有素的数学家，适于从事他的课题的高级研究工作了。 不幸，今日数学系的教师和学生不再能过这样轻松的生活了：上述课题仍然不失为基本的，但已是远远不够了的。因此，必须以一切方法使学生在短期内学得更多的东西。还有，过去的将近半个世纪的抽象“数学”和“公理化”方法的发展已经使我们越来越清楚地认识到下列事实：从某些方面看，数学是一种语言，而且这个语言必须跟上它必须满足的需要，这个语言又有它自己的语法和词汇。我们还必须学会这个语法，掌握这些词汇。近代数学的语法与词汇首先是由抽象集合论，其次是由一般拓扑与抽象代数供给的：这些都是数学的辅助分支，它们之间又有着如此显著的差别：抽象集合论建立不到100年以前，而一般拓扑则不到点50年，两者都可被看作是已经成熟了的（至少从今日数学所关心的需要看是如此）；虽然代数起源于巴比伦人，但至今仍在茁壮地发展中，无论如何，这些分支已经渗透到传统的课题（如微积分与几何）中去了。远在人们认识到在许多不同的课题中支离破碎地研究它们是一种浪费之前便如此了，例如，把二次型化为平方和的方法只不过是巴比伦人早知道的解二次方程的“配方”法，它对平面和立体解析几何中的二次曲线与曲面的研究和射影几何来说都是基本方法，它在高维情形的推广对于微积分中的极大极小的研究，Hilbert 空间中的“正交化方法”和Hilbert空间被引入数学以前的许多具体情形来说也是有着根本的价值的。把所有这些课题中的概念，以它在各种应用中最合适的方式统一起来，毕其功以一役地加以处理是会带来明显的好处的。同时，不能忘记，学习一种语言的语法是不能在实际使用这种语言之前进行的（也许对于语言学家是例外），它们是必须手拉手地一起前进的。同样，在数学中，抽象概念必须逐步地谨慎地引进，这对于初学者来说尤应如此。很幸运的是，由于下列事实这变得比较容易了；一般拓扑中的大多数概念和代数（线性代数与矩阵论中的较大部分）中的许多概念在很大程度有着强烈的几何背景而可以用几何语言来表达，这就容易被直观所接受。 以上所述，解释了当今的数学教程的安排，预科水平的课程是提供学生以弥补初等数学知识上的不足（如解析几何、三角学、复数等课题，这些都是今后的工作中常常用到的）。预科课程之后是微积分，它的主要目的是对满足适当的光滑性条件的一元和多元实变函数的局部性质的研究（“局部”是理解为“在变量的值的一个邻域内的”）在今日数学中（纯粹和应用）这种函数已不占有像一百年甚至五十年以前那样的重要地位了，但是对于培养有前途的数学家和专门应用数学于某个专业的科学家来说，研究这类函数的方法仍然是一般教育中的不可缺少的一部分，而且在初级阶段的学习中，学生的数学知识的实质部分（相对于形式部分而言）主要还是来自这方面的学习。微积分的学习被组织成连贯的四个部分，初学者可望逐个学习。这些课程中包括一些例解说明，但是，从长远观点看，更多的例解材料应放在初等微分几何与初等力学这样一些课程中，后者又为进一步学习这些题材铺平了道路。 学生开始学习微积分的同时或稍晚，便应该开始熟悉一些今后对他不可缺少的抽象概念，这就是一系列代数课的目的之一，以通常的整数和解析几何中的二维、三维向量空间为背景，一系列代数课将向学生介绍群、环、域，向量空间，线性变量等概念和关于这些概念的基本定理，这些概念已经渗入近代数学的大部分领域，包括微积分课程中的一些课题（如曲线和曲面积分，各种形式的Stokes定理需要Grassmann代数的知识，它是重线性代数的一个基本部分，又和行列式理论不可分割），因此细心地弥合代数课与微积分课之间的隙缝是必要的，同时，代数课中的很多知识又和有紧密联系的仿射几何、射影几何，任意维空间的欧氏几何不可区分的，假若代数的学习不是形式地进行的，而是在每个可能的场合尽力发展和提高学生的几何直观，就使得专门开设这些几何课失去了必要。 学习代数与微积分时，学生便逐渐认识到集合的一般概念和记号（不论它是实数集合，函数集合、群的元素的集合等）及集合运算（并、交、积等）的必要性，在代数里他又熟悉了一些数学对象并非作为先天存在而接受的，却是由一些性质来描述的，这些性质又不是完全确定它们，换言之，学生已经接触了抽象集合的处理以及公理化方法，不到五十年以前，这些训练还被认为对逻辑学家比对数学家更适合，数学的发展已经产生了这样的影响，不仅这些训练对数学系学生是必要的，而且只要学生在才智上已有接受它的准备，它应该提前得越早越好，具体地说，经验似乎告诉我们，不要比两年微积分学完后还要晚，以上说明是针对集合论与一般拓扑学课程的。虽然这两门课的实质内容都很平凡，但是它们提供了一种语言，这种语言将使以后要学的大部分课题能方便地表述出来。 在关于课程的描述中，现在已经到达了这样的地步，越过这步专门化（或分科化）便可开始了。是的，不知道伽罗华理论可以成为一个好的分析学家，不知道勒贝格积分可以成为一个好的代数学家，不知道代数数论可以成为一个好的拓扑学家。虽然，这一切都是可能的，但并是非值得称道的。现在，全能的数学家比以前稀罕了，我们不准备在这儿讨论这种过早的专门化可能带来的灾难性后果，但是愿意指出，本系不愿意鼓励这种过早的专门化，我们期望所有的学生获得纯数学主要分支的基本知识，这使他们能够考虑自己的能力，并能在确定今后的工作领域时，作出理智的选择。这些基本知识至少应包括：
在很大程度上，这些知识可以互相独立地学习，只有在高级阶段，数学各分支之间的相互作用才会变得重要起来，学习它们的顺序可以根据学生的爱好和方便去决定，这只是个选择和机会的事。 最后，学生必须认识到，数学是一门有着悠久历史的科学，假若对它的历史背景没有一些了解，要真正理解它是不可能的。首先，时间绘出了人们心目中的数学和数学分支枝的图象的一个维数。另外，数学中主要概念是不多的，清晰地理解它们的最好途径是追寻它们相互渗透时逐步发展的线索，这对于各级的有远见的数学教师来说尤其重要。对于他们来说，课堂上必须教的课题的干巴巴的知识远不如明了隐藏在这些课题背后的主要思想来得重要。最后，数学研究是一种知识的探索，学生将会失去对它的兴趣，除非它给予学生接触到智慧的伟大的机会，这种机会在教科书的学习中是不会碰到的，也不太可能从学生为了成为哲学博士而必须攻读的那类文献中遇上。在眼前的情况下，不能指望学生能对数学史有一个全面的了解，除非他专攻数学史。而且即使专攻数学史也可能不会有此了解。然面，可以指望他对他特别感兴趣的几个方面的过去的数学家的原著有所熟悉。 本文转自：《蛙鸣》第53期，1998年10月 |
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